[論文レビュー] Entanglement spectrum of a topological phase in one dimension

Frank Pollmann, Erez Berg+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2009

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元スピン-1鎖におけるHaldane相が、時間反転、二面体、または結合中心の反転対称性によって保護される、エンタングルメントスペクトルにおける対称性保護型二重degeneracyによって特徴づけられることを示している。このdegeneracyは、対称性が破れない限り維持され、伝統的な秩序パラメータが消える場合でさえも、強固で普遍的なトポロジカル相の兆候となる。

ABSTRACT

We show that the Haldane phase of S=1 chains is characterized by a double degeneracy of the entanglement spectrum. The degeneracy is protected by a set of symmetries (either the dihedral group of $π$-rotations about two orthogonal axes, time-reversal symmetry, or bond centered inversion symmetry), and cannot be lifted unless either a phase boundary to another, "topologically trivial", phase is crossed, or the symmetry is broken. More generally, these results offer a scheme to classify gapped phases of one dimensional systems. Physically, the degeneracy of the entanglement spectrum can be observed by adiabatically weakening a bond to zero, which leaves the two disconnected halves of the system in a finitely entangled state.

研究の動機と目的

• 伝統的な秩序パラメータを超えて、1次元系におけるHaldane相の普遍的で波動関数に基づく特徴づけを確立すること。
• エンタングルメントスペクトルが、ギャップがあり対称性保護型トポロジカル相に対してトポロジカル不変量として機能するかを調査すること。
• エンタングルメントスペクトルにおける二重degeneracyを保護する最小限の対称性の集合を特定すること。
• 断熱的結合弱化を通じて、エンタングルメントdegeneracyの物理的実現可能性を検討すること。
• 対称性制約下でのエンタングルメントスペクトルの構造を用いて、1次元系におけるギャップのある相を分類すること。

提案手法

• 系を二分割した後、縮約密度行列の固有値分解を用いて、AKLT状態や他のHaldane相ハミルトニアンのエンタングルメントスペクトルを解析する。
• エンタングルメントスペクトルにおける二重degeneracyが、時間反転対称性、二面体対称性（π回転）、または結合中心の反転対称性によって保護されることを特定する。
• 行列積状態（MPS）形式を用いて基底状態を表現し、位相φ_I = πを伴う反転対称性下でのスレート分解を導出する。
• ユニタリ変換を適用して、ハミルトニアンの変形が対称性を保つ限り、degeneracyが安定であることを示す。
• 断熱的に結合を0に弱める直後、エンタングルメントエントロピーが正確にln(2)に達することを示し、degeneracyの物理的兆候を確認する。
• 反転対称性が、端モードやストリング秩序が存在しない状況でも、degeneracyを保護するのに十分であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルメントスペクトルは、ギャップのある1次元相に対して普遍的なトポロジカル不変量として機能できるか？
• RQ2 Haldane相のエンタングルメントスペクトルにおける二重degeneracyを保護するのに必要な対称性は何か？十分な対称性は何か？
• RQ3 ストリング秩序などの伝統的秩序パラメータを破壊する局所的摂動に対しても、エンタングルメントdegeneracyは安定か？
• RQ4 断熱的結合弱化を通じて、エンタングルメントdegeneracyを物理的に観測できるか？
• RQ5 反転対称性のみで十分に、端状態や非局所的秩序パラメータが存在しない状況でも、トポロジカル秩序を保護できるか？

主な発見

• Haldane相のエンタングルメントスペクトルには、時間反転、二面体、または結合中心の反転対称性によって保護される強固な二重degeneracyが存在する。
• 対称性が破られない限り、任意の局所的ハミルトニアンの変形に対してもdegeneracyが維持され、トポロジカル安定性を示す。
• 反転対称性のみで十分に、degeneracyを保護でき、端モードやストリング秩序が存在しない系でも成立する。
• 断熱的に結合を0に弱めた後のエンタングルメントエントロピーは正確にln(2)に達し、トポロジカル相の測定可能な物理的兆候を提供する。
• エンタングルメントスペクトルは、degenerate固有状態が対称性群の非自明な射影表現に従って変化することから、波動関数の非局所的情報を保持している。
• 1次元系におけるギャップのある相の分類は、対称性群の作用下でのエンタングルメントスペクトルのdegeneracy構造に基づいて体系的に可能である。