[論文レビュー] Entropic and displacement interpolation: a computational approach using the Hilbert metric

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト距離を用いた最適輸送（OMT）およびシュレーディンガー・ブリッジの計算フレームワークを提示し、収縮写像を用いた効率的な数値解法を可能にしている。Jamisonの定理の新しい証明が提示され、確率密度の補間に高速かつ収束性を有するアルゴリズムが提供され、画像モーフィングへの応用が示されている。

ABSTRACT

Monge-Kantorovich optimal mass transport (OMT) provides a blueprint for geometries in the space of positive densities -- it quantifies the cost of transporting a mass distribution into another. In particular, it provides natural options for interpolation of distributions (displacement interpolation) and for modeling flows. As such it has been the cornerstone of recent developments in physics, probability theory, image processing, time-series analysis, and several other fields. In spite of extensive work and theoretical developments, the computation of OMT for large scale problems has remained a challenging task. An alternative framework for interpolating distributions, rooted in statistical mechanics and large deviations, is that of Schroedinger bridges (entropic interpolation). This may be seen as a stochastic regularization of OMT and can be cast as the stochastic control problem of steering the probability density of the state-vector of a dynamical system between two marginals. In this approach, however, the actual computation of flows had hardly received any attention. In recent work on Schroedinger bridges for Markov chains and quantum evolutions, we noted that the solution can be efficiently obtained from the fixed-point of a map which is contractive in the Hilbert metric. Thus, the purpose of this paper is to show that a similar approach can be taken in the context of diffusion processes which i) leads to a new proof of a classical result on Schroedinger bridges and ii) provides an efficient computational scheme for both, Schroedinger bridges and OMT. We illustrate this new computational approach by obtaining interpolation of densities in representative examples such as interpolation of images.

研究の動機と目的

• 高次元設定における最適輸送（OMT）およびシュレーディンガー・ブリッジ問題を解くための効率的な計算手法を開発すること。
• ヒルベルト距離、収縮写像、および拡散過程のシュレーディンガー系の解との間の関係を確立すること。
• シュレーディンガー系の解の存在および一意性に関するJamisonの古典的結果に対する、新たな構成的証明を提供すること。
• 画像モーフィングなどの応用に向け、エントロピー的および変位補間を実用的に計算可能にすること。
• ヒルベルト距離に基づく共通の計算原理を通じて、OMTとシュレーディンガー・ブリッジの幾何的枠組みを統一すること。

提案手法

• 本手法は、ヒルベルト距離において収縮的である写像に基づく固定点反復を採用し、シュレーディンガー・ブリッジ問題の解への収束を保証する。
• シュレーディンガー・ブリッジ問題の解は、確率測度上に作用する非線形作用素の唯一の不動点として得られる。
• ヒルベルト距離を用いて反復写像の収縮性を確立し、解へのグローバル収束を保証する。
• 本手法はシュレーディンガー・ブリッジとOMTの双対性を活用し、OMTがシュレーディンガー・ブリッジ枠組みにおけるノイズゼロ極限として現れることを示している。
• 反復的測度更新をヒルベルト距離の収縮に基づいて実装し、弱収束および緊密性の議論を用いて収束性を証明している。
• 本手法は、画素強度を確率密度とみなしてエントロピー補間を計算することにより、画像補間に応用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト距離を用いて、拡散過程のシュレーディンガー・ブリッジ問題を解く収束性があり、計算的に効率的なアルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 ノイズがゼロに近づく極限において、シュレーディンガー・ブリッジ枠組みは最適輸送とどのように関係するか？
• RQ3 ヒルベルト距離は、シュレーディンガー系の解の収縮性および一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 ヒルベルト距離に基づく固定点反復は、画像モーフィングなどの実用的応用におけるエントロピー的および変位補間を計算するために使用可能か？
• RQ5 ヒルベルト距離枠組みを用いて、シュレーディンガー系の解の存在および一意性に関するJamisonの定理に対する新たな構成的証明が可能か？

主な発見

• ヒルベルト距離に基づく固定点反復は、拡散過程のシュレーディンガー・ブリッジ問題の唯一の解へ、グローバルに収束する。
• 本手法は、シュレーディンガー系の解の存在および一意性に関するJamisonの古典的結果に対する、新たな構成的証明を提供する。
• シュレーディンガー・ブリッジ問題の解は、ノイズゼロ極限においてOMTの変位補間へ収束し、両者の計算的関係を確立する。
• アルゴリズムは高速な収束性を示し、数値的に安定しており、滑らかで視覚的に妥当な補間が得られる画像モーフィングへの応用で実証された。
• ヒルベルト距離の収縮により、反復写像が厳密に収縮的であることが保証され、初期条件に依存せずに収束が保証される。
• 本手法は、測度πと参考測度νを構築し、dπ/dν = qおよびdν/dπ = 1/qを満たすようにする。ここでνは積測度であり、πは周辺制約を満たす確率測度である。