[論文レビュー] On the relation between optimal transport and Schrödinger bridges: A stochastic control viewpoint

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、確率的制御を通じて最適輸送とシュレーディンガー・ブリッジの深い関係を確立し、両問題の流体力学的定式化を導出し、事前分布がマルコフ過程である場合に最適輸送（事前分布あり）がシュレーディンガー・ブリッジのゼロノイズ極限として現れることを示している。主な貢献は、ゼロノイズ極限に依存せずに本質的な関係を明らかにする統一的流体力学的枠組みであり、ガウス分布の場合には明示的解が得られ、オーバードンプド・ブラウン運動における数値的妥当性検証も行われている。

ABSTRACT

We take a new look at the relation between the optimal transport problem and the Schrödinger bridge problem from the stochastic control perspective. We show that the connections are richer and deeper than described in existing literature. In particular: a) We give an elementary derivation of the Benamou-Brenier fluid dynamics version of the optimal transport problem; b) We provide a new fluid dynamics version of the Schrödinger bridge problem; c) We observe that the latter provides an important connection with optimal transport without zero noise limits; d) We propose and solve a fluid dynamic version of optimal transport with prior; e) We can then view optimal transport with prior as the zero noise limit of Schrödinger bridges when the prior is any Markovian evolution. In particular, we work out the Gaussian case. A numerical example of the latter convergence involving Brownian particles is also provided.

研究の動機と目的

• 最適輸送とシュレーディンガー・ブリッジの関係を、確率的制御理論を用いて明確化すること。
• ゼロノイズ極限に依存せずに最適輸送との関連を明らかにする、シュレーディンガー・ブリッジ問題の流体力学的定式化を導出すること。
• 事前分布あり最適輸送の流体力学的バージョンを定式化・解明し、ゼロノイズ極限の解析を可能にすること。
• 事前分布がガウス・マルコフ過程である場合に、最適輸送（事前分布あり）がシュレーディンガー・ブリッジのゼロノイズ極限として現れることを示すこと。
• 異なる拡散係数（ε = 9, 4, 0.01）を用いた2次元オーバードンプド・ブラウン運動粒子系の数値的検証を通じて、有効性を示すこと。

提案手法

• 基本的な確率的制御の議論を用いて、ベンアモ＝ブレニエの最適輸送の流体力学的定式化を導出する。
• 前向きおよび後ろ向きのドリフトを用いた、シュレーディンガー・ブリッジ問題の時間対称的流体力学的定式化を導入する。
• 遷移密度に関する結合された前向き・後ろ向きフォッカー＝プランク方程式を解くことで、シュレーディンガー・ブリッジ問題を解く。
• 一般枠組みをガウス・マルコフ事前分布のケースに適用し、ドリフトおよび平均の時間発展に関する明示的表現を導出する。
• 2次元数値例において、オーバードンプド・ブラウン運動のスモラフソフ近似を用いて事前分布のダイナミクスをモデル化する。
• 異なる拡散係数（ε = 9, 4, 0.01）に対して数値シミュレーションを実施し、事前分布あり・なしの最適輸送と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、変分計算を避け、基本的な確率的制御の議論により、ベンアモ＝ブレニエの最適輸送の流体力学的定式化を導出できるか？
• RQ2 シュレーディンガー・ブリッジ問題の時間対称的流体力学的定式化とは何か？ そして、ゼロノイズ極限に依存せずに最適輸送とどのように関連するか？
• RQ3 事前分布がマルコフ過程である場合に、最適輸送（事前分布あり）がシュレーディンガー・ブリッジのゼロノイズ極限としてどのようにして現れるか？
• RQ4 事前分布がガウス・マルコフ過程である場合のシュレーディンガー・ブリッジ問題の明示的解は何か？
• RQ5 ノイズ強度がゼロに近づくにつれて、シュレーディンガー・ブリッジの標本経路はどのように最適輸送の経路に収束するか？

主な発見

• 変分計算を避けることで、基本的な確率的制御の議論により、最適輸送のベンアモ＝ブレニエ流体力学的定式化が容易に導出された。
• ゼロノイズ極限に依存せずに最適輸送との直接的な関係を明らかにする、シュレーディンガー・ブリッジ問題の新しい時間対称的流体力学的定式化が提案された。
• 事前分布あり最適輸送の流体力学的定式化が導出・解明され、ゼロノイズ極限の研究が可能になった。
• ガウス・マルコフ事前分布の場合、シュレーディンガー・ブリッジのゼロノイズ極限は最適輸送（事前分布あり）に一致し、σ² → 0 のときドリフトが定常速度場に収束することが明示的に示された。
• 2次元数値例において、ε → 0 のとき、シュレーディンガー・ブリッジの標本経路は、滑らかで定常速度の最適輸送（事前分布あり）の経路に収束し、ε = 0.01 でもすでに最適輸送解に非常に近い経路を示した。
• ノイズ強度がゼロに近づくにつれて、ブリッジ過程の現在のドリフトが、対応する最適輸送問題の最適制御に収束することが確認され、理論的期待と一致した。