[論文レビュー] Entropy and escape of mass for $SL(3,Z)\SL(3,R)$

Manfred Einsiedler, Shirali Kadyrov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上の対角的流れにおける測度論的エントロピーと質量の散逸の間の定量的関係を確立し、$\mathrm{T}$-不変確率測度に対して、エントロピー $h_\mu(\mathrm{T})$ が $3 - \mu(X_{\geq M}) + \varphi(M)$ で上から抑えられることを証明する。ここで $\varphi(M) \to 0$ が $M \to \infty$ のとき成り立つ。この結果により、弱*極限における残存質量の鋭い下界が得られ、$h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \geq c$ を満たす列に対して $\mu(X) \geq c - 2$ が成り立ち、$c \in (2,3)$ のとき等号が達成可能であることが示される。

ABSTRACT

We study the relation between measure theoretic entropy and escape of mass for the case of a singular diagonal flow on the moduli space of three-dimensional unimodular lattices.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな同調空間における測度論的エントロピーと質量の散逸の相乗的関係を理解すること、特に $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上の対角的流れを対象とすること。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の場合におけるエントロピーと質量散逸に関する先行結果を、より高いランクの $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ の設定へと拡張すること。
• 高さ関数（最小ベクトルと平面の被覆体積に基づく）を用いて、高さが少なくとも $M$ である格子からなる集合 $X_{\geq M}$ の測度を用いた、エントロピーの鋭い上界を確立すること。
• エントロピーが $c$ よりも大きい $\mathrm{T}$-不変確率測度の列に対して、任意の弱*極限が少なくとも $c - 2$ の質量を保持することを証明し、この下界が鋭いかどうかを示すこと。

提案手法

• 著者らは、$\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上に高さ関数 $\operatorname{ht}(x)$ を定義し、それは最短ベクトル長と格子平面の最小被覆体積の逆数の最小値として与えられる。
• Mahlerのコンパクト性基準を用いて、任意の $M > 0$ に対して $X_{\leq M} = \{x \in X : \operatorname{ht}(x) \leq M\}$ がコンパクトであり、任意のコンパクト集合が適切な $X_{\leq M}$ に含まれることを示す。
• 主な技術的アプローチは、対角的変換 $\mathrm{T}(x) = x\alpha$（ここで $\alpha = \operatorname{diag}(e^{1/2}, e^{1/2}, e^{-1})$）の力学的性質を解析し、$\mathrm{T}$ の繰り返し作用による質量の散逸を研究することにある。
• 不安定方向 $U^+$ において次元 $d > \frac{4}{3}$ の測度 $\nu$ を用いて、時間平均 $\mu_N = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{T}^n_* \nu$ を導入し、$\mathrm{T}^n$ による $X_{\geq M}$ 上での測度の増加を評価する。
• 証明は、Lemma 6.2 の重要な推定に依存し、$\mathrm{T}^n$ による $X_{\geq M}$ への散逸集合の測度を抑え、$\varphi(M) = O(\frac{\log \log M}{\log M})$ の減少性を用いて誤差項を制御する。
• 文献[7]におけるハウスドルフ次元に関する結果を応用し、次元 $> \frac{4}{3}$ の測度を構成し、過剰な質量の散逸が生じると仮定すると矛盾が生じることを示し、極限測度の質量下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\mathrm{T}$-不変確率測度 $\mu$ に対して、$X_{\geq M}$ の測度を用いた測度論的エントロピー $h_\mu(\mathrm{T})$ の鋭い上界は何か？
• RQ2 エントロピーが $\mathrm{T}$-不変確率測度の列によって制御され得るか？ その場合、弱*極限における質量の散逸量はどの程度制御されるか？
• RQ3 弱*極限に対して $\mu(X) \geq c - 2$ であるという下界は鋭いか？ もしそうならば、このような列を明示的に構成可能か？
• RQ4 不安定方向 $U^+$ における測度の次元 $d$ は、対角的流れ $\mathrm{T}$ における質量の散逸にどのように影響するか？
• RQ5 高さ関数 $\operatorname{ht}(x)$ は、格子の幾何的性質とコンパクト集合からの散逸をどのように定量的に定式化するか？

主な発見

• 本稿では、任意の $\mathrm{T}$-不変確率測度 $\mu$ に対して、$h_\mu(\mathrm{T}) \leq 3 - \mu(X_{\geq M}) + \varphi(M)$ を確立し、ここで $\varphi(M) = O(\frac{\log \log M}{\log M})$ かつ $M \to \infty$ のとき $\varphi(M) \to 0$ であり、$\mathrm{T}$ は $\alpha = \operatorname{diag}(e^{1/2}, e^{1/2}, e^{-1})$ による対角的流れである。
• 任意の $\mathrm{T}$-不変確率測度の列 $\{\mu_i\}$ に対して、$h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \geq c$ を満たすとき、任意の弱*極限 $\mu$ は $\mu(X) \geq c - 2$ を満たし、この下界は鋭い：任意の $c \in (2,3)$ に対して、$h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \to c$ かつ $\mu(X) = c - 2$ を満たす列が存在する。
• Haar測度に関する $\mathrm{T}$ の最大エントロピーは 3 であり、これは達成可能であり、エントロピー不等式の上界としても機能する。
• 不安定方向 $U^+$ において次元 $d > \frac{4}{3}$ の測度を考慮した場合、著者らは時間平均測度 $\mu_N$ が極限測度 $\mu$ を持ち、$\mu(X) \geq \frac{3d - 4}{2}$ を満たすことを示し、$d > \frac{4}{3}$ のとき $\mu(X) \geq \frac{3}{2}(d - \frac{4}{3})$ に改善されることを示す。
• 証明は、ハウスドルフ測度の性質に基づく背理法に依存している：極限測度が $\frac{3d - 4}{2}$ よりも小さい質量を持つと仮定すると、次元の仮定と $\mathrm{T}^n$ における散逸率の減少性に矛盾する。
• 著者らは、$U^+$ における高次元測度が常に全質量の極限をもたらすという考えに反する反例を構成し、実際にはエントロピーと次元のトレードオフが散逸を制御することを示した。また、$\mu(X) \geq \frac{3d - 4}{2}$ という下界が最適であることを示した。