[論文レビュー] SL(2,Z)-invariance and D-instanton contributions to the $D^6 R^4$ interaction

M. B. Green, Stephen D. Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、タイプIIB超弦理論におけるD⁶R⁴相互作用を記述する非同次ラプラス固有値方程式の、正確なSL(2,Z)-不変解を提供する。フーリエモードを変形したケルビン関数の二重積として表現されたものを使い、Dインスタントン、反Dインスタントン、インスタントン-反インスタントンの寄与を正確に含むモジュラー不変係数関数f(Ω)が導出され、弱結合領域での境界条件を厳密に満たす。

ABSTRACT

The modular invariant coefficient of the $D^6R^4$ interaction in the low energy expansion of type~IIB string theory has been conjectured to be a solution of an inhomogeneous Laplace eigenvalue equation, obtained by considering the toroidal compactification of two-loop Feynman diagrams of eleven-dimensional supergravity. In this paper we determine the exact $SL(2,\mathbb Z)$-invariant solution $f(x+iy)$ to this differential equation satisfying an appropriate moderate growth condition as $y o \infty$ (the weak coupling limit). The solution is presented as a Fourier series with modes $\widehat{f}_n(y) e^{2πi n x}$, where the mode coefficients, $\widehat{f}_n(y)$ are bilinear in $K$-Bessel functions. Invariance under $SL(2,\mathbb Z)$ requires these modes to satisfy the nontrivial boundary condition $ \widehat{f}_n(y) =O(y^{-2})$ for small $y$, which uniquely determines the solution. The large-$y$ expansion of $f(x+iy)$ contains the known perturbative (power-behaved) terms, together with precisely-determined exponentially decreasing contributions that have the form expected of D-instantons, anti-D-instantons and D-instanton/anti-D-instanton pairs.

研究の動機と目的

• タイプIIB超弦理論におけるD⁶R⁴相互作用の非同次ラプラス固有値方程式に対する正確なSL(2,Z)-不変解を求める。
• 係数関数f(Ω)の解析において、以前の研究で欠落していた非累乗則的（指数的）な寄与を解消する。
• 中程度の成長とSL(2,Z)不変性の制約の下で、f(Ω)の完全なフーリエモード展開を導出する。
• Dインスタントン、反Dインスタントン、およびインスタントン-反インスタントン対に対応する正確な指数的抑制寄与を特定する。

提案手法

• 解はフーリエ級数f(Ω) = ∑ₙ ̂fₙ(y)e²πinxとして構成され、モード係数̂fₙ(y)はケルビン関数の二重積として表現される。
• 境界条件として、̂fₙ(y) = O(y⁻²)（y → 0のとき）を課し、弱結合領域での振る舞いを保証するとともに、SL(2,Z)不変性を強制する。
• 非同次ラプラス方程式 (ΔΩ − 12)f(Ω) = −(2ζ(3)E₃/₂(Ω))² は、モード分解とスペクトル論的手法により解かれる。
• ポアンカレ級数とイーゼンスタイン級数を用いて解を表現し、イーゼンスタイン級数の積を含む発散積分を処理するための正則化技術が適用される。
• 解の定数項は、イーゼンスタイン級数との内積とスペクトル論を用いて導出され、切断作用素とマース＝セルバーグ関係式が用いられる。
• ザジエールの正則化法が非可積分的成長を示すイーゼンスタイン級数の積を扱うために適応され、スペクトル展開における内積の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプIIB超弦理論におけるD⁶R⁴相互作用の非同次ラプラス固有値方程式に対する正確なSL(2,Z)-不変解は何か？
• RQ2 非摂動的Dインスタントン、反Dインスタントン、およびインスタントン-反インスタントン対の寄与は、解からどのように導かれるか？
• RQ3 フーリエモード係数におけるモジュラー不変性と正しい弱結合領域の振る舞いを保証する境界条件は何か？
• RQ4 非同次項が二乗可積分でないにもかかわらず、解のスペクトル展開はどのように計算可能か？
• RQ5 f(Ω)の大きなyにおける展開における指数的抑制項の正確な構造は何か？そして、期待されるインスタントン効果と一致するか？

主な発見

• 完全な解f(Ω)は、モード係数̂fₙ(y)がケルビン関数の二重積として与えられるフーリエ級数として構成され、SL(2,Z)不変性が保証される。
• 解は、y → 0のとき̂fₙ(y) = O(y⁻²)という必要な境界条件を満たし、これが非摂動的寄与を一意に決定する。
• f(Ω)の大きなyにおける展開には摂動的累乗則的項と、Dインスタントンおよび反Dインスタントン寄与の期待される形に一致する指数的抑制項が含まれる。
• D⁶R⁴相互作用の係数には、正確に決定されたインスタントン-反インスタントン対の寄与が含まれており、超弦理論の期待と整合する。
• 解の定数項は、スペクトル論とイーゼンスタイン級数との内積を用いて導出され、正則化および切断技術が用いられる。
• 発散項を再編成し、ザジエールの正則化を適用することで、イーゼンスタイン級数の積を含む内積を効果的に計算可能とする手法が成功裏に実行された。