[論文レビュー] Entropy-dissipative discretization of nonlinear diffusion equations and discrete Beckner inequalities

Claire Chainais-Hillairet, Ansgar Jüngel+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形拡散方程式（多孔質媒体型および高速拡散型）に対して、エントロピー散逸型の有限体積スキームを提示し、離散的な零次および一次エントロピーの代数的または指数的減衰を証明する。主な貢献は、連続PDEのエントロピー散逸構造が離散スキームに引き継がれるように保証する、新たな一般化されたベクナー不等式の開発であり、系の統合的積分による部分積分と離散グローヴァル型推定を用いて明示的な減衰率が導出される。

ABSTRACT

The time decay of fully discrete finite-volume approximations of porous-medium and fast-diffusion equations with Neumann or periodic boundary conditions is proved in the entropy sense. The algebraic or exponential decay rates are computed explicitly. In particular, the numerical scheme dissipates all zeroth-order entropies which are dissipated by the continuous equation. The proofs are based on novel continuous and discrete generalized Beckner inequalities. Furthermore, the exponential decay of some first-order entropies is proved in the continuous and discrete case using systematic integration by parts. Numerical experiments in one and two space dimensions illustrate the theoretical results and indicate that some restrictions on the parameters seem to be only technical.

研究の動機と目的

• 非線形拡散方程式のエントロピー散逸構造を保つ完全離散型有限体積スキームの構築を目的とする。
• そのスキームにおける離散的零次および一次エントロピーの明示的な代数的または指数的減衰率の確立を目的とする。
• 連続的および離散的設定において一般化されたベクナー不等式を導出し、エントロピー散逸とエントロピー減衰を結びつけることを目的とする。
• エントロピー散逸法を完全離散スキームに拡張し、数値スキームが連続PDEの長時間挙動を正確に再現することを保証することを目的とする。
• 1次元および2次元の数値実験を通じて理論的減衰率の妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• ノイマン境界条件または周期的境界条件を伴う多孔質媒体型および高速拡散型方程式に対して、有限体積離散化を構築する。
• 離散的一般化ベクナー不等式を用いて、連続方程式が散逸するすべての零次エントロピーが、離散スキームでも散逸することを証明する。
• 連続的および離散的両ケースにおいて、一次エントロピーの指数的減衰を証明するために、統合的積分による部分積分を適用する。
• 新たな離散非線形グローヴァル補題を導出し、減衰率を推定する。特に、凸関数の逆関数の積分によって定義される関数の逆関数を含む重要な推定式を含む。
• エントロピー、エントロピー散逸、および一般化されたベクナー不等式の相乗作用を用いて、理論的減衰率を導出する。
• 1次元および2次元の数値実験を実施し、理論的減衰率の妥当性を検証するとともに、パラメータ依存性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的な多孔質媒体型および高速拡散型方程式のエントロピー散逸構造を保つ完全離散型有限体積スキームを構築可能か？
• RQ2 そのようなスキームにおける離散的零次および一次エントロピーの明示的な代数的または指数的減衰率は何か？
• RQ3 連続的および離散的両設定において一般化されたベクナー不等式を導出可能か？ これによりエントロピーとエントロピー散逸を結びつけられるか？
• RQ4 理論的減衰率は、1次元および2次元の数値シミュレーションとどの程度一致するか？
• RQ5 理論的解析におけるパラメータ制限は技術的制限に過ぎないのか、それとも根本的な制限を反映しているのか？

主な発見

• 有限体積スキームは、連続PDEが散逸するすべての零次エントロピーを散逸し、離散的エントロピー減衰を保証する。
• βの値および次元dに応じて、離散的エントロピー関数の明示的な代数的または指数的減衰率が導出される。
• 連続的および離散的両ケースにおいて一般化されたベクナー不等式が証明され、減衰率の確立に中心的な解析的道具となる。
• 部分積分と新規のベクナー不等式を用いて、連続的および離散的両ケースで一次エントロピーの指数的減衰が厳密に証明される。
• 数値実験により理論的減衰率が確認され、一部のパラメータ制限は技術的である可能性が示唆される。
• 凸関数fを含む離散グローヴァル補題により、精度の高い減衰推定が可能となり、エントロピー列の減衰に対する明示的な上界が得られる。