[論文レビュー] Entropy of $C^1$ diffeomorphisms without a dominated splitting

Jérôme Buzzi, Sylvain Crovisier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、分岐分割を伴わない$C^1$微分同相写像において、周期軌道の$C^1$摂動を用いてホースシューズを構成でき、その位相的エントロピーがルイェの不等式によって与えられる上界——つまり正のリャプノフ指数の和——に近づくことを確立している。この最適なエントロピー生成は、重要な帰結をもたらす：保存的設定では位相的エントロピーは連続的であるが局所定数ではないし、最大エントロピー測度は存在しない。発散的状況では、ゼロから離れたエントロピーを持つ無限個のホモクラインクラスが一般に共存する。

ABSTRACT

A classical construction due to Newhouse creates horseshoes from hyperbolic periodic orbits with large period and weak domination through local $C^1$-perturbations. Our main theorem shows that, when one works in the $C^1$ topology, the entropy of such horseshoes can be made arbitrarily close to an upper bound deriving from Ruelle's inequality, i.e., the sum of the positive Lyapunov exponents (or the same for the inverse diffeomorphism, whichever is smaller). Adapting classical techniques, we use perturbations that are local and can be chosen to preserve volume or symplectic form or a homoclinic connection. This optimal entropy creation yields a number of consequences for $C^1$-generic diffeomorphisms, especially in the absence of a dominated splitting. For instance, in the conservative settings, we find formulas for the topological entropy, deduce that the topological entropy is continuous but not locally constant at the generic diffeomorphism and we prove that these generic diffeomorphisms have no measure of maximum entropy. In the dissipative setting, we show the locally generic existence of infinitely many homoclinic classes with entropy bounded away from zero.

研究の動機と目的

• 分岐分割を伴わない$C^1$微分同相写像におけるエントロピー生成のメカニズムを理解すること。
• このような条件下で、一般の$C^1$微分同相写像において位相的エントロピーが連続的または局所定数であるかどうかを特定すること。
• 最大エントロピー測度の存在と構造、およびホモクラインクラスにおけるエントロピーの局在化を調査すること。
• ニューホールスのホースシューズ構成を高次元および保存的系へと拡張し、エントロピーの最適性を達成すること。

提案手法

• 周期軌道の$C^1$摂動によるホモクラインねじれからのホースシューズ構成の強化版を用いる。
• リャプノフ指数を制御し、双曲性を維持するために、フランクスの補題および線形コアラの摂動技法を適用する。
• 一般の微分同相写像が高エントロピーのエルゴディック測度に近いホースシューズを有することを示すために、バーレ・カテゴリー論法を用いる。
• エントロピーの上界としてルイェの不等式を用い、その上界に近づくホースシューズを構成する。
• 測度をホースシューズ上に支持させ、与えられたエルゴディック測度に近い状態を実現するためにカトックの近似定理を適用する。
• 摂動されたホースシューズからの推定を用いて、ホモクラインクラスのハウスドルフ次元を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐分割を伴わない$C^1$微分同相写像の位相的エントロピーは、$C^1$摂動によってルイェの上界に任意に近づけられるか？
• RQ2 分岐分割が存在しない場合、一般の$C^1$微分同相写像において位相的エントロピーは連続的か？
• RQ3 分岐分割を伴わない一般の$C^1$微分同相写像は最大エントロピー測度を有するか？
• RQ4 発散的状況では、ゼロから離れたエントロピーを持つ無限個のホモクラインクラスが一般に共存するか？
• RQ5 分岐分割が存在しない場合、周期点の安定／不安定次元とそのホモクラインクラスのハウスドルフ次元の関係は何か？

主な発見

• 分岐分割を伴わない$C^1$一般の微分同相写像の位相的エントロピーは連続的であるが、局所定数ではない。
• 分岐分割を伴わない一般の$C^1$微分同相写像は最大エントロピー測度を有さない。
• 保存的設定では、位相的エントロピーはボレル同相性の意味で周期軌道によって完全に決定される。
• 発散的状況では、無限個のホモクラインクラスを有する$C^1$一般の微分同相写像が存在し、それぞれのエントロピーはゼロから離れている。
• 分岐分割を伴わない$C^1$一般の微分同相写像において、ホモクラインクラスのハウスドルフ次元は、周期点の不安定次元を上回り得る。
• ルイェの上界——つまり正のリャプノフ指数の和——に近いエントロピーを持つホースシューズを構成可能である。