[論文レビュー] Entropy stabilization and property-preserving limiters for discontinuous Galerkin discretizations of nonlinear hyperbolic equations

Dmitri Kuzmin|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形双曲型保存則における discontinuous Galerkin (DG) 法に、エントロピー安定化と性質を保つ制限子を統合した統一的フレームワークを提示する。Rusanov 型エントロピー粘性をテイラー基底表現で統合し、頂点ベースの勾配制限子を組み合わせることで、エントロピー安定性、局所的最大原理の保持、スカラーおよび非凸フラックス問題における境界保持挙動を保証し、物理的境界を超過しない高解像度で振動のない解を達成する。

ABSTRACT

The methodology proposed in this paper bridges the gap between entropy stable and positivity-preserving discontinuous Galerkin (DG) methods for nonlinear hyperbolic problems. The entropy stability property and, optionally, preservation of local bounds for the cell averages are enforced using flux limiters based on entropy conditions and discrete maximum principles, respectively. Entropy production by the (limited) gradients of the piecewise-linear DG approximation is constrained using Rusanov-type entropy viscosity, as proposed by Abgrall in the context of nodal finite element approximations. We cast his algebraic entropy fix into a form suitable for arbitrary polynomial bases and, in particular, for modal DG approaches. The Taylor basis representation of the entropy stabilization term reveals that it penalizes the solution gradients in a manner similar to slope limiting and requires semi-implicit treatment to achieve the desired effect. The implicit Taylor basis version of the Rusanov entropy fix preserves the sparsity pattern of the element mass matrix. Hence, no linear systems need to be solved if the Taylor basis is orthogonal and an explicit treatment of the remaining terms is adopted. The optional application of a vertex-based slope limiter constrains the piecewise-linear DG solution to be bounded by local maxima and minima of the cell averages. The combination of entropy stabilization with flux and slope limiting leads to constrained approximations that possess all desired properties. Numerical studies of the new limiting techniques and entropy correction procedures are performed for two scalar two-dimensional test problems with nonlinear and nonconvex flux functions.

研究の動機と目的

• 非線形双曲型問題におけるエントロピー安定スキームと正性保持スキームの間のギャップを埋めること。
• フラックス制限と勾配制限を用いて、同時にエントロピー安定性と局所的境界保持を実現すること。
• 衝撃領域でアンダーシュート・オーバーシュート、エントロピー違反挙動を回避する安定で高次元のDG離散化を開発すること。
• Abgrall のエントロピー粘性法を任意の多項式基底、特にテイラー基底を用いたモーダルDGに一般化すること。
• 得られるスキームが、ロバストで保存的であり、スカラーおよび系レベルの双曲型問題に適していること。

提案手法

• 勾配制限と類似する方法で、解の勾配をペナルティ化するため、Rusanov 型エントロピー粘性項をテイラー基底表現に適用する。
• エントロピー安定化項を半陰的処理することで、エントロピー不等式を維持し、質量行列のスパarsityを保つ。
• 頂点ベースの勾配制限子を用いて、DG 解を局所的セル平均の極値で定義される境界内に制限する。
• エントロピー条件に基づくフラックス制限と、離散的最大原理に基づく勾配制限を組み合わせ、エントロピー安定性と境界保持の両方を強制する。
• 非陰的項には明示的処理、エントロピー補正には陰的処理を採用することで、効率性と安定性を両立する。
• エントロピー安定性を保持し、適応的拡散制御を可能にするルンゲ・クッタ時間積分スキームを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー安定化と性質を保つ制限子を、1つのDGフレームワークに統合し、同時にエントロピー安定性と境界保持を実現できるか？
• RQ2 Abgrall のエントロピー粘性法を、特にテイラー基底を用いたモーダルDGに、任意の多項式基底に一般化できるか？
• RQ3 提案されたフラックス制限子が、非線形的かつ非凸フラックス問題において、どの程度エントロピー不等式と局所的最大原理の満たしを保証できるか？
• RQ4 エントロピー安定化と勾配制限の組み合わせが、スカラー双曲型問題における衝撃領域および滑らかな領域の解像度にどのように影響するか？
• RQ5 得られるスキームが、不適切な振動やエントロピー違反解を回避しながら、高次精度を維持できるか？

主な発見

• フラックス制限と勾配制限を施したエントロピー安定DG1スキーム（ES1S）は、[0,1] の範囲内で境界が保たれ、Buckley-Leverett テストではセル平均が [0.0, 0.997] の範囲に収束する解を生成する。
• フラックス制限なしのDG1スキームは強いアンダーシュートとオーバーシュートを示し、値の範囲が -0.354 から 1.451 に達しており、エントロピー違反挙動を示している。
• h=1/128 の KPP 問題における ES1S 解は、アンダーシュートやオーバーシュートを示さず、衝撃領域においても回転波構造を正確に捉えている。
• エントロピー安定化が施された ES1S 法は、エントロピー生成を低減し、不適切な振動を回避し、標準的 DG1 やエントロピー安定 ES1 よりも境界保持性能に優れている。
• 直交的テイラー基底を用いる場合、質量行列のスパarsityパターンを維持でき、線形系の解法なしに効率的な解法が可能となる。
• 数値結果は、フラックス制限と勾配制限の組み合わせが、定理2で示された通り、エントロピー安定性と局所的最大原理の両方を保証することを確認している。