[論文レビュー] Entropy vs Gravitational Action: Do Total Derivatives Matter?

Amin Faraji Astaneh, Alexander Patrushev+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、重力作用における全微分項を、エントロピーを計算する際に無視可能であるという従来の仮定に挑戦する。レプリカトリックと滑らかな正則化を用いて、角座標幾何における全微分項が、外在的曲率がゼロであっても、$ abla^2 R$ や $ abla^2(R_{\mu\nu}R^{\mu\nu})$ のような項が非自明にエントロピーに寄与することを示している。主な結果は、これらの項が有限で非ゼロのエントロピーを生じることであり、ホログラフィックなエントロピーとワルドのエントロピー計算との間の長年の不一致を解消する。

ABSTRACT

The total derivatives in the gravitational action are usually disregarded as non-producing any non-trivial dynamics. In the context of the gravitational entropy, within Wald's approach, these terms are considered irrelevant as non-contributing to the entropy. On the other hand, the total derivatives are usually present in the trace anomaly in dimensions higher than 2. As the trace anomaly is related to the logarithmic term in the entanglement entropy it is natural to ask whether the total derivatives make any essential contribution to the entropy or they can be totally ignored. In this note we analyze this question for some particular examples of total derivatives. Rather surprisingly, in all cases that we consider the total derivatives produce non-trivial contributions to the entropy. Some of them are non-vanishing even if the extrinsic curvature of the surface is zero. We suggest that this may explain the earlier observed discrepancy between the holographic entanglement entropy and Wald's entropy.

研究の動機と目的

• 重力作用における全微分項が重力的エントロピーに寄与するかどうかを調査し、それらが物理的に無関係であると見なされる従来の見解に挑戦すること。
• 高次元において、ホログラフィックなエンタングルメントエントロピーとワルドのエントロピー公式との間の長年の不一致を解消すること。
• 特に、FSおよびFPS正則化法が、角座標幾何における全微分項からのエントロピー寄与を捉える役割を果たすかを分析すること。
• トレース異常における体系依存性と、特に conformal 異常から生じる対数項がエンタングルメントエントロピーに与える影響を明確にすること。
• 外在的曲率がゼロであっても、$ abla^2 R$ や $ abla^2(R_{\mu\nu}R^{\mu\nu})$ のような全微分項が非ゼロのエントロピーを生じることを示すこと。

提案手法

• レプリカトリックを用い、周期性 $2\pi n$ を導入することで、エンタングルメント表面に角座標特異点を導入し、$n \to 1$ の極限において重力作用を微分することでエントロピーを計算する。
• FS正則化を適用して、$f_n(r) = \frac{r^2 + b^2 n^2}{r^2 + b^2}$ を用いて角座標特異点を滑らかにし、FPS正則化を用いて外在的曲率が非ゼロの場合に対処する。この際、曲率項において $r \to r^n$ と置き換える。
• $ds^2 = e^{2\sigma(r,x)}(dr^2 + r^2 d\tau^2) + h_{ij}(x)dx^i dx^j + \text{外在的曲率項}$ の計量アンザッツを用い、角座標欠損が存在する状況下での曲率不変量を計算する。
• 次元正則化と漸近的解析を用いて、$ abla^2 R$ の積分 $ abla_{\mathcal{M}_n} \Box R$ を評価し、$b \to 0$ および $n \to 1$ の極限を注意深く取り扱う。
• 特に $k=0$ および $k=10$ の場合に注目して、$I_k = \int_0^{r_0/b} \frac{x^{2n-3+k}}{(x^2+1)^{1/2}(x^2+n^2)^{9/2}} dx$ の積分の振る舞いを分析し、$n-1$ における極がエントロピー寄与を示すかを検出する。
• バルク積分法と境界項法の結果を比較することで、$ abla^2 R$ 項におけるエントロピー評価の矛盾を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全微分項、たとえば $ abla^2 R$ や $ abla^2(R_{\mu\nu}R^{\mu\nu})$ が、力学的に無関係と見なされるにもかかわらず、重力的エントロピーに非自明に寄与するか？
• RQ2 標準的なバルク積分法では $ abla^2 R$ のエントロピーがゼロであると示唆されるが、境界項法では非ゼロの結果が得られる。その理由は何か？
• RQ3 FS や FPS のような正則化スキームが、角座標幾何における全微分項からの有限エントロピー寄与を捉えることができるか？
• RQ4 エンタングルメント表面での外在的曲率が存在しない状況でも、全微分項からの非ゼロエントロピーが生じ得るか？
• RQ5 トレース異常における体系依存項が、エンタングルメントエントロピーの対数項に与える影響は何か？また、それらは6次元ホログラフィック計算における不一致を説明できるか？

主な発見

• $\Box R$ 項は、$8\pi(n-1)\int_\Sigma (K_1^2 + K_2^2)$ のように、有限で非ゼロのエントロピーを寄与させ、バルク積分によるゼロエントロピーの単純な仮定に反する。
• $\Box(R_{\mu\nu}R^{\mu\nu})$ 項についても、外在的曲率がゼロであってもエントロピーが非ゼロであることが示され、表面幾何に依存しない非自明な寄与が存在することが判明した。
• バルク法と境界項法の間の見かけ上の矛盾は、積分上限を無限大に拡張した際の不適切な処理に起因する。正しい有限上限 $r_0/b$ を用いることで、発散項の誤ったキャンセルが防がれる。
• 分析における $I_{10}$ 積分は、$\mathop{\rm ln}(r_0/b)$ の振る舞いを示し、$n \to 1$ の極限でも残存する。適切な正則化を施した後、$8\pi(n-1)$ の有限寄与が得られる。
• 最終的な結果として、$ abla_{\mathcal{M}_n} \Box R = 8\pi(n-1)\int_\Sigma (K_1^2 + K_2^2)$ が境界項法と完全に一致し、$ abla^2 R$ の場合における不一致が解消された。
• 本研究は、従来は体系依存性から無視されがちなトレース異常における全微分項が、高次元におけるホログラフィックエントロピーとワルドエントロピーを一致させるために本質的である可能性を示唆している。