[論文レビュー] Enumeration of Genus-Two Curves with a Fixed Complex Structure in P^2 and P^3

Aleksey Zinger|ArXiv.org|Jan 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック不変量と種数0の数え上げ不変量を関係付けることによって、固定された複素構造を持つℙ²およびℙ³における種数2の曲線の個数を計算する。指定された制約を通過する次数dの種数2曲線の個数に対する明示的な公式を導出し、シンプレクティック不変量と2倍の固定複素構造不変量の差が、安定写像のモジュライ空間上のタウトロジカルな交差数を含む計算可能な補正項に等しいことを示している。

ABSTRACT

We express the genus-two fixed-complex-structure enumerative invariants of P^2 and P^3 in terms of the genus-zero enumerative invariants. The approach is to relate each genus-two fixed-complex-structure enumerative invariant to the corresponding symplectic invariant.

研究の動機と目的

• 指定された制約を通過する固定された一般な複素構造を持つℙ²およびℙ³における種数2の次数d曲線の個数を計算すること。
• ℙ²およびℙ³のシンプレクティック不変量を種数0の数え上げ不変量に関連付けること。
• シンプレクティック不変量と2倍の固定複素構造不変量の差を、タウトロジカル類を含む補正項として表現すること。
• ℙ²およびℙ³における低次の種数2曲線の個数に対する明示的な公式を提供すること。
• 安定有理写像のモジュライ空間上の交差数を用いて補正項を計算する方法を確立すること。

提案手法

• 障害バンドルと接バンドルモデルの摂動的解析を用いて、種数2の不変量を種数0のものに関連付ける。
• 特に種数0の成分を含むバブル型に注目した、安定写像のモジュライ空間の構造定理を適用する。
• べき級数展開と、写像ψ_T,tν^μの1次、2次、3次近似を用いて、障害バンドルの挙動を制御する。
• ベクトルバンドル写像の位相的性質とオイラー類の計算に依存して不変量を抽出する。
• 微分作用素D_bの挙動とその核の正則性を分析することで公式を導出する。
• 安定有理写像の空間におけるタウトロジカル類のチャーン類と交差数を計算し、補正項CR(μ)を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ²およびℙ³における種数2の固定複素構造不変量は、どのように種数0の不変量で表されるか？
• RQ2 ℙ²およびℙ³における種数2曲線に関して、シンプレクティック不変量と固定複素構造不変量の正確な関係は何か？
• RQ3 シンプレクティック不変量と2倍の固定複素構造不変量の差を補償する補正項は何か？
• RQ4 ℙ²およびℙ³における制約に対して、補正項CR(μ)を明示的に計算する方法は何か？
• RQ5 固定複素構造を持つℙ²およびℙ³における低次の種数2曲線の個数は何か？

主な発見

• ℙ²では、3d−2個の一般な点を通過する種数2の次数d曲線の個数は、種数0の不変量と次数分解d₁ + d₂ = dに関する和を含む公式で与えられる。
• ℙ²におけるn₂,dの公式には、3(d²−1)n_dという項と、二項係数および種数0の不変量n_d₁とn_d₂の積を含む補正和が含まれる。
• ℙ³では、シンプレクティック不変量RT₂,d(⋅;μ)と2倍の固定複素構造不変量2n₂,d(μ)の差が、タウトロジカルな交差数を含む計算可能な補正項CR(μ)に等しい。
• n=3の場合に明示的な値が計算され、(p,q)=(3,7)のときn₂,₄(μ) = 14,400であり、(p,q)=(2,9)のときn₂,₅(μ) = 307,200である。
• 補正項CR(μ)は、安定有理写像のモジュライ空間上の交差論を用いて計算可能であり、従来の手法とは異なる手法が用いられている。
• 本論文は、[P2]とは異なる新しい方法でこれらの不変量を計算し、[KQR]の結果とは異なるが、適切な変換を施せば回復可能であることを確認している。