[論文レビュー] Enumerative geometry of plane curves of low genus

Ravi Vakil|ArXiv.org|Mar 2, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、安定写像のモジュライ空間における交線論を用いて、指定された特異点およびインシデント条件をもつ低(genus 0–3)の平面曲線を数える再帰的公式を開発する。A, B, Cおよび境界除算子を既知の不変量で表し、一般点を通る1パラメータ族に制限することで、セバリ多様体の特徴的数、幾何的および算術的断面 genus、および cuspidal, tacnodal, 三重点付き曲線の数を計算可能な再帰的公式を導出する。

ABSTRACT

We collect various known results (about plane curves and the moduli space of stable maps) to derive new recursive formulas enumerating low genus plane curves of any degree with various behaviors. Recursive formulas are given for the characteristic numbers of rational plane curves, elliptic plane curves, and elliptic plane curves with fixed complex structure. Recursions are also given for the number of elliptic (and rational) plane curves with various "codimension 1" behavior (cuspidal, tacnodal, triple pointed, etc., as well as the geometric and arithmetic sectional genus of the Severi variety). We compute the latter numbers for genus 2 and 3 plane curves as well. We rely on results of Caporaso, Diaz, Getzler, Harris, Ran, and especially Pandharipande.

研究の動機と目的

• 指定された特異点（例：cusp, tacnode, 三重点）およびインシデント条件をもつ任意の次数の有理曲線および楕円曲線を数える再帰的公式を導出すること。
• genus 2および3の曲線に対するセバリ多様体 $V^{d,g}$ の幾何的および算術的断面 genus を計算すること。
• モジュライ空間における交線論を用いて、低 genus 平面曲線の特徴的数を計算可能なアルゴリズムを提供すること。
• 既知の genus 0および1曲線の結果を、再帰的関係を用いて genus 2および3に拡張し、特に超楕円曲線の場合を含むこと。
• カポラーソ、ディアズ、ゲッツラー、ハリス、ラン、パンダリパンドの結果を、安定写像モジュライおよび除算クラス恒等式を用いて統一的かつ一般化すること。

提案手法

• genus $g$ および次数 $d$ の既約曲線から $\mathbb{P}^2$ への安定写像をパラメトライズするモジュライスタック $\overline{{\mathcal{M}}}_{g}(\mathbb{P}^{2},d)^{*}$ を用いる。
• 主要な除算クラスを定義する：$A = \pi_*(D^2)$, $B = \pi_*(D\cdot\omega)$, $C = \pi_*(\omega^2)$, および $TL = A + B$ で、ここで $D$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ の引き戻し、$\omega$ は相対双対化層である。
• 既知の関係式を用い、$C$ および $g=0$ の場合の $TL - (\frac{d-1}{d})A$、$g=1$ の場合の $TL - A = B$ を、可約曲線をパラメトライズする境界除算子 $\Delta_{i,j}$ の和として表現する。
• これらの除算クラス恒等式を、$3d + g - 2$ 個の一般点を通る1次元族の曲線に制限する。
• 既知のアルゴリズムを用いて $g=2,3$ の場合に再帰的削減により除算クラスの次数（$|A|$, $|B|$, $|C|$, $|\Delta|$, $|TL|$）を計算する。
• ハイパーエリプティック平面曲線の数を数えるグラバのアルゴリズムを適用し、$\overline{{\mathcal{M}}}_3$ における関係式を用いて $|C|$ をハイパーエリプティック数 $H_d$ および他の不変量で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定された特異点（例：cusp, tacnode, 三重点）およびインシデント条件をもつ次数 $d$ の有理曲線および楕円曲線の数を数える再帰的公式は何か？
• RQ2 genus 2および3の曲線に対するセバリ多様体 $V^{d,g}$ の幾何的および算術的断面 genus はどのように計算できるか？
• RQ3 一般点 $3d + g - 2$ 個および一般直線に接する genus 2および3の平面曲線の数は何か？
• RQ4 モジュライ空間 $\overline{{\mathcal{M}}}_{g}(\mathbb{P}^2,d)^{*}$ 上の除算クラス関係式は、数え上げ不変量の再帰的計算にどのように寄与するか？
• RQ5 トポロジカル再帰やdescendentを用いるよりも、低 genus 曲線の特徴的数をより効率的に計算できるか？

主な発見

• genus 2および3の曲線に対して、$|A|$, $|B|$, $|C|$, $|\Delta|$, $|TL|$ の次数は、$g=2$ に対して既知のアルゴリズム、$g=3$ に対してグラバの方法を用いて再帰的に計算される。
• 次数4のcuspidal genus 2曲線の数は72、次数5では239,400。genus 3では、$d=4$ の場合0、$d=5$ で49,680、$d=6$ で329,520,312。
• セバリ多様体 $V^{d,2}$ の幾何的断面 genus $\hat{g}$ は、$d=4$ で28、$d=5$ で166,321、$d=6$ で420,645,826。$V^{d,3}$ については、$d=4,5,6$ で $\hat{g} = 0$。
• セバリ多様体 $V^{d,2}$ の算術的断面 genus $g$ は、$d=4$ で325、$d=5$ で762,994、$d=6$ で1,410,743,814。$V^{d,3}$ については、$d=4,5,6$ で $g = 0$。
• NP(a,b) に対する再帰的公式が導出され、次数および点条件の分解に関する和を含み、ノードの像を通る0、1、または2本の接線をもつ可約曲線に対応する項が含まれる。
• アルゴリズムを実装したMapleプログラムは要請に応じて提供可能であり、$4 \leq d \leq 6$ のすべてのリストアップされた不変量の計算が可能である。