[論文レビュー] Enumeration of polyominoes defined in terms of pattern avoidance or convexity constraints

Daniela Battaglino|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、パターン回避と凸性制約を用いた多ポリオミノの列挙のための新規フレームワークを提示し、二値行列における部分行列回避を通じて、それらを順列クラスに関連付ける。多ポリオミノクラスと順列パターンの間の関係を確立し、$k$-平行四辺形多ポリオミノの母関数を導出し、それらを植生平面木に関連付ける双対的証明を提供することで、構造的多ポリオミノ族の新たな組合せ的洞察と列挙技法をもたらす。

ABSTRACT

In this thesis, we consider the problem of characterizing and enumerating sets of polyominoes described in terms of some constraints, defined either by convexity or by pattern containment. We are interested in a well known subclass of convex polyominoes, the k-convex polyominoes for which the enumeration according to the semi-perimeter is known only for k=1,2. We obtain, from a recursive decomposition, the generating function of the class of k-convex parallelogram polyominoes, which turns out to be rational. Noting that this generating function can be expressed in terms of the Fibonacci polynomials, we describe a bijection between the class of k-parallelogram polyominoes and the class of planted planar trees having height less than k+3. In the second part of the thesis we examine the notion of pattern avoidance, which has been extensively studied for permutations. We introduce the concept of pattern avoidance in the context of matrices, more precisely permutation matrices and polyomino matrices. We present definitions analogous to those given for permutations and in particular we define polyomino classes, i.e. sets downward closed with respect to the containment relation. So, the study of the old and new properties of the redefined sets of objects has not only become interesting, but it has also suggested the study of the associated poset. In both approaches our results can be used to treat open problems related to polyominoes as well as other combinatorial objects.

研究の動機と目的

• 凸性およびパターン回避の制約に基づいて、多ポリオミノの体系的分類と列挙のためのアプローチを開発すること。
• 二値行列における部分行列回避を用いて、多ポリオミノクラスと順列クラスの間の対応関係を確立すること。
• $k$-平行四辺形多ポリオミノの構造的および列挙的性質、ならびにそれらの木構造との関係を調査すること。
• 多ポリオミノおよび順列クラスの最小および正規化された $m$-ベースの存在と性質を調査すること。
• 既知の順列パターンにおけるウィルフ同値性の結果を、部分行列回避を介して多ポリオミノクラスの文脈へと拡張すること。

提案手法

• 特定の部分行列の回避を通じて多ポリオミノクラスを定義し、それらを特徴付けるために $m$-ベースと $p$-ベースの形式的体系を用いる。
• シュッツェンベルガーの手法（DSV）を適用して、$k$-平行四辺形多ポリオミノの母関数の関数方程式を導出する。
• $k$-平行四辺形多ポリオミノと植生平面木の間の双対的写像を構築し、$k$-凸性度が木の高さに対応することを示す。
• 母関数と再帰関係を用いて $k$-平行四辺形多ポリオミノを列挙し、閉形式の公式を導出する。
• 順列パターンの回避を、二値行列における部分行列回避に翻訳することで、多ポリオミノクラスの定義と分析を行う。
• スターリング＝ウィルフ＝マルクス＝タラドスの定理を理論的基準として用い、多ポリオミノクラスの密度性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、二値行列における部分行列回避を用いて、多ポリオミノクラスを体系的に定義し特徴づけられるか？
• RQ2 順列クラスの $p$-ベースと、それに対応する多ポリオミノクラスにおける $m$-ベースとの関係は何か？
• RQ3 $k$-平行四辺形多ポリオミノの母関数を明示的に導出できるか？また、その組合せ的解釈は何か？
• RQ4 どの条件下で、クラスの $p$-ベースが最小の $m$-ベースにもなるか？また、このようなベースはどのように計算できるか？
• RQ5 多ポリオミノクラスは、順列クラスにおけるスターリング＝ウィルフ定理に類似した密度性を示すか？

主な発見

• $k$-平行四辺形多ポリオミノのクラスは、関数方程式から導かれた母関数を用いて列挙され、閉形式の公式が提示されている。
• $k$-平行四辺形多ポリオミノと植生平面木との間で双対的対応関係が確立され、$k$-凸性度が木の高さに対応する。
• スネーク型多ポリオミノの族は、特定の部分行列の回避によって定義される多ポリオミノクラスであることが示された。
• ハロー・スタック多ポリオミノと、長方形の穴を持つ長方形は、明示的な $p$-ベースを用いて多ポリオミノクラスとして特徴づけられた。
• 多ポリオミノクラスの $p$-ベースは、任意の $m$-ベースから導出可能であり、正規化された $m$-ベースはこのようなクラスの最小表現を提供する。
• 部分行列回避のアプローチにより、無限に多くの順列クラスにおけるウィルフ同値性が導出可能であり、既存の文献における結果を拡張した。