[論文レビュー] Enumeration of snakes and cycle-alternating permutations

Matthieu Josuat-Vergès|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2010

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ひとこと要約

本稿は、三角関数に関連する微分多項式の組合せ的解釈を提供し、符号付き順列（スネイクス）、サイクル交互順列、重み付きDyckおよびMotzkin経路、および増加木／森と結びつける。三角関数級数およびJ連分数を用いた母関数を確立し、qアナログを導入し、正規順序問題および微分方程式と関連づけ、Springer数および関連する数列を統一的な組合せ的枠組みで扱う。

ABSTRACT

Springer numbers are an analog of Euler numbers for the group of signed permutations. Arnol'd showed that they count some objects called snakes, that generalize alternating permutations. Hoffman established a link between Springer numbers, snakes, and some polynomials related with the successive derivatives of trigonometric functions. The goal of this article is to give further combinatorial properties of derivative polynomials, in terms of snakes and other objects: cycle-alternating permutations, weighted Dyck or Motzkin paths, increasing trees and forests. We obtain the generating functions, in terms of trigonometric functions for exponential ones and in terms of J-fractions for ordinary ones. We also define natural q-analogs, make a link with normal ordering problems and combinatorial theory of differential equations.

研究の動機と目的

• 既知の母関数を超えて、Springer数 S_n の組合せ的理解を拡張し、複数の組合せ的対象と結びつけること。
• 微分多項式 P_n(t)、Q_n^{(a)}(t)、R_n(t) の母関数に対して、組合せ的構造を用いた双対的および代数的証明を提供すること。
• これらの多項式のqアナログを導入し、微分方程式の文脈における量子力学的正規順序問題と関連づけること。
• スネイクス、サイクル交互順列、重み付き格子経路、増加木などのさまざまな組合せ的族を、共通の母関数枠組みの下に統一すること。

提案手法

• 微分恒等式および三角関数展開を用いて、微分多項式 P_n(t)、Q_n^{(a)}(t)、R_n(t) の再帰的関係と母関数を導出する。
• 読書語と葉の位置に基づく符号割り当てを用いて、増加木とスネイクスの間の双対写像を確立する。
• Q_n^{(a)}(t) の係数を符号化する重み付きDyckおよびMotzkin経路を構成し、重みは経路構造と降下パターンから導出する。
• J連分数を用いて通常母関数を表現し、経路分解を用いて組合せ的に証明する。
• 多項式のqアナログを導入し、微分方程式の文脈における演算子の正規順序化と関連づける。
• 微分方程式の組合せ的理論を応用し、多項式が重み付き木および森を数えるものとして解釈できるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分多項式 P_n(t) および Q_n^{(a)}(t) は、符号付き順列および格子経路の観点からどのように組合せ的に解釈できるか？
• RQ2 スネイクスおよびサイクル交互順列の文脈において、パrameter t の組合せ的意味は何か？
• RQ3 Q_n^{(a)}(t) の母関数は、双対的意味でJ連分数（連分数）として解釈可能か？ これは既知の解析的結果とどのように関係するか？
• RQ4 微分方程式における正規順序問題から、Springer数および微分多項式のqアナログはどのように生じるか？
• RQ5 増加木、森、およびスネイクスやサイクル交互順列などのさまざまな順列クラスとの構造的関係は何か？

主な発見

• Q_n^{(a)}(t) の指数的母関数は (cos z - t sin z)^{-a} で与えられ、a=1 の既知の結果を一般化する。
• Q_n^{(a)}(t) の通常母関数はJ連分数（連分数）として表現され、古典的に知られた解析的恒等式の組合せ的解釈を提供する。
• 増加木とスネイクスの間の双対写像が構成され、符号割り当ては読書語における各ノードの直前での空の葉の数に依存する。
• 多項式 R_n(t) = Q_n^{(2)}(t) は R_n(1) = 2^n E_{n+1} を満たし、Euler数およびβ-スネイクスと関連づけられる。
• 微分多項式のqアナログが定義され、正規順序問題と関連づけられ、既知のEuler数のqアナログを拡張する。
• サイクル交互順列が、Foataの基本的変換の下でスネイクスの像であることが示され、同じ数列を表す新しい組合せ的モデルが得られる。