[論文レビュー] Envy-free Relaxations for Goods, Chores, and Mixed Items

Kristóf Bérczi, Erika R. Bérczi‐Kovács+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、非分割財（財、負債、混合財を含む）における非単調かつ非加法的効用関数を想定した環境において、 envy-freeness（EF1 および EFX）の緩和形を導入し、それらを検討する。2人以下のエージェントに対する EF1 分配の多項式時間アルゴリズムを提示し、負債の単調的で同一の効用関数において EFX 分配の存在を示す一方で、非単調的で同一かつ非加法的効用関数では EFX が存在しない可能性があることを示している。

ABSTRACT

In fair division problems, we are given a set $S$ of $m$ items and a set $N$ of $n$ agents with individual preferences, and the goal is to find an allocation of items among agents so that each agent finds the allocation fair. There are several established fairness concepts and envy-freeness is one of the most extensively studied ones. However envy-free allocations do not always exist when items are indivisible and this has motivated relaxations of envy-freeness: envy-freeness up to one item (EF1) and envy-freeness up to any item (EFX) are two well-studied relaxations. We consider the problem of finding EF1 and EFX allocations for utility functions that are not necessarily monotone, and propose four possible extensions of different strength to this setting. In particular, we present a polynomial-time algorithm for finding an EF1 allocation for two agents with arbitrary utility functions. An example is given showing that EFX allocations need not exist for two agents with non-monotone, non-additive, identical utility functions. However, when all agents have monotone (not necessarily additive) identical utility functions, we prove that an EFX allocation of chores always exists. As a step toward understanding the general case, we discuss two subclasses of utility functions: Boolean utilities that are $\{0,+1\}$-valued functions, and negative Boolean utilities that are $\{0,-1\}$-valued functions. For the latter, we give a polynomial time algorithm that finds an EFX allocation when the utility functions are identical.

研究の動機と目的

• 非単調的かつ非加法的効用関数を有する設定への EF1 および EFX 公平性の概念の拡張を図ること。
• 財、負債、混合財の文脈において、EF1 および EFX 分配の存在とアルゴリズム的構築を調査すること。
• 特に負のブール型効用関数の場合を含め、同一の単調的または非単調的効用関数に対して EFX 分配が存在するかどうかを特定すること。
• ブール型および負のブール型効用関数などの特定のクラスの効用関数に対して、効率的なアルゴリズムを開発すること。
• さまざまな効用制約下での EF1 および EFX 分配の存在に関する未解決問題を同定すること。

提案手法

• 非単調的かつ非加法的効用関数への EF1 および EFX の4つの拡張を提案し、新たな公平性緩和形として EFX⁺₀ および EFX⁰₋ を定義する。
• 潜在関数の議論を用いて、任意の効用関数を有する2人エージェントに対する EF1 分配の多項式時間アルゴリズムを設計する。
• 各転送ステップで厳密に増加する潜在関数 φ(π) を導入し、多項式時間内での終了を保証する。
• 低い効用を持つエージェントから高い効用を持つエージェントへアイテムを転送するローカルサーチ機構を適用し、公平性を維持または向上させる。
• 効用変化に基づくグリーディーなアイテム選択を用いて、負のブール型設定における EFX⁺₀ 公平性への進行を保証する。
• 背理法とケース解析を用いて、各反復において φ(π) が少なくとも1以上増加することを示し、収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の（非単調的、非加法的）効用関数を有する2人のエージェントに対して、常に EF1 分配が存在するか？
• RQ2 非単調的、非加法的、同一の効用関数に対して、EFX 分配が存在しうるか？
• RQ3 単調的で同一の効用関数を有する負債に対して、常に EFX⁺₀ 分配が存在するか？
• RQ4 同一の負のブール型効用関数の場合に、EFX 分配を求める多項式時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ5 非同一の単調的で加法的効用関数に対して、EFX⁰₋ 分配がどのような条件下で存在するか？

主な発見

• 任意の効用関数を有する2人のエージェントに対する EF1 分配を計算する多項式時間アルゴリズムが存在し、厳密に増加する潜在関数によって証明された。
• すべてのエージェントが単調的で同一の効用関数を有する負債に対して、常に EFX⁺₀ 分配が存在する。
• ローカルサーチアルゴリズムを用いて、同一の負のブール型効用関数に対して EFX⁺₀ 分配を多項式時間で計算可能である。
• 非単調的で非加法的かつ同一の効用関数を有する2人のエージェントに対して、EFX 分配が存在しない例を構築した。
• 負のブール型効用関数に対しては、EFX⁰₋ 分配が常に存在しないことが、3つのアイテムと2人のエージェントを含む反例によって示された。
• 非同一の単調的で加法的効用関数に対して、EFX 分配の存在は未解決のままであり、公平配分分野における主要な未解決問題を示している。