[論文レビュー] Equations for Chow and Hilbert Quotients

Angela Gibney, Diane Maclagan|ArXiv.org|Jul 12, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、補助的トーリック多様体の Cox 環における $X$ の定義イデアルを同次化することにより、トーラス作用 $T^d$ における射影的スキーム $X$ の Chow および Hilbert 商の明示的方程式を提供する。主たる貢献は、これらの商の GIT 構成と、変動 GIT を用いた $X$ のすべての $T^d$-GIT 商の実現方法であり、トロピカル幾何学を応用して $¯{M}_{0,n}$ が同次化された Plücker 関係式によって与えられる方程式で、滑らかなトーリック多様体に部分多様体として埋め込まれることを示している。

ABSTRACT

We give explicit equations for the Chow and Hilbert quotients of a projective scheme X by the action of an algebraic torus T in an auxiliary toric variety. As a consequence we provide GIT descriptions of these canonical quotients, and obtain other GIT quotients of X by variation of GIT quotient. We apply these results to find equations for the moduli space \bar{M}_{0,n} of stable genus zero n-pointed curves as a subvariety of a smooth toric variety defined via tropical methods.

研究の動機と目的

• 射影的スキーム $X$ に対して、トーラス作用 $T^d$ における Chow 商および Hilbert 商の明示的方程式を提供すること。
• これらの商の GIT 構成を確立し、$X$ のすべての $T^d$-GIT 商が、Chow 商および Hilbert 商から変動 GIT を用いて得られることを示すこと。
• この枠組みをモジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}$ に適用し、トロピカル手法を用いて、それが滑らかなトーリック多様体に部分多様体として埋め込まれることを示すこと。
• $\overline{M}_{0,n}$ を、系統発生樹の空間によって定義されるトーリック多様体の部分スキームとして幾何学的に実現し、Plücker 関係式から導かれる方程式を与えること。

提案手法

• トーリック部分多様体 $X_\Sigma \subset X_{\Sigma^\star}$ の Cox 環 $S = \Bbbk[y_1, \dots, y_r]$ を用いる。ここで $X_{\Sigma^\star}$ は $\mathbb{P}^m$ の $T^d$ によるトーリック Chow または Hilbert 商の正規化である。
• $X \mathbin{//}^\star T^d$ のイデアルは、$I(X)$ の生成元を $\operatorname{Cl}(X_\Sigma)$-次数に関して同次化し、$S$ のすべての変数の積で正則化することによって計算される。
• この構成はトロピカル幾何学に依拠し、$\overline{M}_{0,n}$ が系統発生樹の空間に対応するファンを持つ滑らかなトーリック多様体 $X_\Delta$ に埋め込まれることを示している。
• $\overline{M}_{0,n}$ の Cox 環 $S = \Bbbk[x_I : I \in \mathcal{I}]$ における方程式は、$S$ の次数を用いて Plücker 関係式を同次化することによって得られる。ここで $\mathcal{I}$ は境界除数をインデックスする。
• $H = \operatorname{Hom}(\operatorname{Cl}(X_\Sigma), \Bbbk^\times)$ による群を介して GIT 商構造を確立する。$X \mathbin{//}^\star_n T^d$ は、特定の開コーン $\mathcal{G} \subset \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \otimes \mathbb{R}$ 内の $\alpha$ に対して $Z(I) \mathbin{//}_\alpha H$ として実現される。
• 変動 GIT を用いて、$G(2,n)$ のすべての $T^{n-1}$-GIT 商が、$\mathcal{G}$ 外の異なる $\alpha$ を選ぶことによって $\overline{M}_{0,n}$ から得られることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック環境空間内に存在する $T^d$-不変な射影的スキーム $X \subset \mathbb{P}^m$ の Chow 商および Hilbert 商に対して、明示的方程式を与えることができるか？
• RQ2 トーリック部分多様体の Cox 環を用いて、Chow 商および Hilbert 商 $X \mathbin{//}^\star T^d$ の GIT 構成が可能か？
• RQ3 すべての $T^{n-1}$-GIT 商が、$\overline{M}_{0,n}$ から変動 GIT を用いて得られるか？
• RQ4 $\overline{M}_{0,n}$ は、同次化された Plücker 関係式によって生成される Cox 環内のイデアルを持つトーリック埋め込みを許容するか？
• RQ5 $\overline{M}_{0,n}$ の有効コーンは Mori Dream 空間であるか？また、Picard 群と有効コーンが同型となるようなトーリック埋め込みによって実現可能か？

主な発見

• $X \mathbin{//}^\star_n T^d$ の Chow または Hilbert 商のイデアルは、$S$ の $\operatorname{Cl}(X_\Sigma)$-次数に関して $X$ の定義イデアルを同次化し、$S$ のすべての変数の積で正則化することによって得られる。
• $X$ の Chow 商および Hilbert 商は、非ゼロのコーン $\mathcal{G} \subset \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \otimes \mathbb{R}$ の相対内部にある $\alpha$ に対して、$Z(I) \mathbin{//}_\alpha H$ として GIT 構成が可能である。
• $G(2,n)$ のすべての $T^{n-1}$-GIT 商は、適切な $\alpha$ に対して $Z(I_{\overline{M}_{0,n}}) \mathbin{//}_\alpha H$ として実現され、変動 GIT が $\overline{M}_{0,n}$ からすべてのこのような商を得られることを示している。
• $\overline{M}_{0,n}$ は、系統発生樹の空間に対応するファンを持つ滑らかなトーリック多様体 $X_\Delta$ に埋め込まれており、Cox 環 $S = \Bbbk[x_I : I \in \mathcal{I}]$ における方程式は同次化された Plücker 関係式によって与えられる。
• $n \geq 5$ のとき、$S$ 内のイデアル $I_{\overline{M}_{0,n}}$ は同次化された Plücker 関係式によって生成され、$\overline{M}_{0,n} \cong Z(I_{\overline{M}_{0,n}}) \mathbin{//}_\alpha H$ が $\alpha \in \operatorname{relint}(\mathcal{G})$ のとき成り立つ。これは GIT 実現の確認である。
• $n \geq 6$ のとき、$\overline{M}_{0,n}$ の有効コーンは $X_\Delta$ のそれと等しくないが、境界除数コーン $E$ は依然として Mori Dream 空間である可能性があり、$S/I_{\overline{M}_{0,n}}$ はすべての $D \in E$ に対して $H^0(\overline{M}_{0,n}, D)$ と同型である可能性がある。