[論文レビュー] Equidistribution in Families of Abelian Varieties and Uniformity

Lars Kühne|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 60被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、アラケロフ理論からの等分布技法と、 Dimitrov, Gao, Habegger の最近の進展を用いて、 genus $ g \geq 2 $ の曲線がそのヤコビアンに埋め込まれた場合のねじれ点に対する一様な上限を確立する。この研究では、このような曲線のねじれ点の数が、 genus とヤコビアンのモーデル・ヴェイユランクの関数として一様に有界であることを証明し、モーデル予想の一様版を導く。

ABSTRACT

Using equidistribution techniques from Arakelov theory as well as recent results obtained by Dimitrov, Gao, and Habegger, we deduce uniform results on the Manin-Mumford and the Bogomolov conjecture. For each given integer $g \geq 2$, we prove that the number of torsion points lying on a smooth complex algebraic curve of genus $g$ embedded into its Jacobian is uniformly bounded. Complementing recent works of Dimitrov, Gao, and Habegger, we obtain a rather uniform version of the Mordell conjecture as well. In particular, the number of rational points on a smooth algebraic curve defined over a number field can be bounded solely in terms of its genus and the Mordell-Weil rank of its Jacobian.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素代数的曲線 $ g \geq 2 $ がそのヤコビアンに埋め込まれた場合のねじれ点の数に対する一様な上限を確立すること。
• アーベル多様体の族に対する基底スキーム $ S $ 上で、アラケロフ理論からの等分布技法を拡張すること。
• ヤコビアンのモーデル・ヴェイユランクと genus のみに依存する一様なモーデル予想を導出すること。
• アーベル多様体の族における非退化条件の下で、相対的等分布予想（REC）を証明すること。
• これらの結果を応用して、曲線の族におけるマンイン＝マウフフォード予想およびボゴモロフ予想の一律性を導出すること。

提案手法

• 部分多様体 $ X \subset A $ に対して、一般化されたネロン＝ターテの高さを拡張する、正規化されたアラケロフ高さの極限 $ \widehat{h}_{\iota}(X) = \limsup_{k \to \infty} \frac{h_{\overline{\mathcal{O}}(1)}(\overline{X}_k)}{n^{2k}} $ を導入する。
• ベッチランク $ \mathrm{rank}_{\mathrm{Betti}}(X,x) $ を、$ X $ の微分のベッチ写像による像の実次元として定義し、非退化性を定義するのに用いる。
• アーベル多様体の族における非退化部分多様体の小高さ点の等分布を、各場所 $ \nu \in \Sigma(K) $ における解析的空間 $ X_{\mathbb{C}_\nu}^{\mathrm{an}} $ を用いて適用する。
• 相対的等分布予想（REC）を主要仮定として用い、これは $ \widehat{h}_{\iota}(x_i) \to \widehat{h}_{\iota}(X) $ を満たす $ X $-一般列が、自然な測度 $ \mu_\nu $ に関して等分布することを述べる。
• 高さと等分布推定に基づき、補助多様体 $ Z^{(m+1)m' - 1} $ を用いた背理法により、ねじれ集合 $ \mathcal{S}_s $ のサイズを有界化する。
• Dimitrov, Gao, Habegger のボゴモロフおよびマンイン＝マウフフォード設定における一様有界性の結果を活用し、一様モーデル予想へのギャップを埋める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus $ g \geq 2 $ の曲線がそのヤコビアンに埋め込まれた場合、そのねじれ点の数は、曲線の具体的なモデルに依存しない一様な上限で有界にできるか？
• RQ2 基底スキーム $ S $ 上のアーベル多様体の族において、非退化部分多様体に対して相対的等分布予想（REC）は成り立つか？ また、小高さ点の等分布は成立するか？
• RQ3 モーデル予想は、ヤコビアンのモーデル・ヴェイユランクと genus のみに依存する一様な有界性に強化できるか？
• RQ4 アーベル多様体の族におけるねじれ点の数に、genus とランクの制約のみで一様な上限が存在するか？
• RQ5 アラケロフ幾何における等分布技法を用いて、算術幾何における有効な一律性結果を導出できるか？

主な発見

• 滑らかな複素代数的曲線が genus $ g \geq 2 $ でそのヤコビアンに埋め込まれた場合、そのねじれ点の数は、各固定された $ g $ に対して、曲線に依存しない一様な上限で有界である。
• 一様なモーデル予想が確立された：数体上の曲線の有理点の数は、その genus とヤコビアンのモーデル・ヴェイユランクにのみ依存して有界である。
• 各 $ g \geq 2 $ に対して、定数 $ c_{19} $ が存在し、$ \#\mathcal{S}_s \leq c_{19} $ が成り立つ。ここで $ \mathcal{S}_s $ は $ s \in S(\overline{\mathbb{Q}}) $ のファイバー上のねじれ点の集合である。
• 証明は、アーベル多様体の族における非退化部分多様体に対して成り立つと仮定される相対的等分布予想（REC）に依存している。
• 高さの正規化と補助多様体 $ Z^{(m+1)m' - 1} $ を用いた背理法により、$ \mathcal{S}_s^{(m+1)m'} \subseteq Z^{(m+1)m' - 1}_s(\overline{\mathbb{Q}}) $ を示し、一様な有界性に到達する。
• 結果は REC と Dimitrov, Gao, Habegger の一様性結果に依存するが、これらの仮定の下で完全な一様有界性が得られる。