[論文レビュー] The Geometric Dynamical Northcott and Bogomolov Properties

Thomas Gauthier, Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特徴値0の関数体上での極化自己準同型写像に関する幾何的力学的ノーサート性を、複素力学系および分岐カレントを用いて確立する。canonical 高さが0であることは前周期性を意味することを証明し、幾何的ボゴモロフ予想の力学的版を提唱・証明する。非等質でない多項式スケュー積の例においても検証される。

ABSTRACT

We establish the dynamical Northcott property for polarized endomorphisms of a projective variety over a function field $\mathbf{K}$ of characteristic zero, and we relate this property to the notion of stability in complex dynamics. This extends previous results of Benedetto, Baker and DeMarco in dimension $1$, and of Chatzidakis-Hrushovski in higher dimension. Our proof uses complex dynamics arguments and does not rely on the previous ones. We first show that, when $\mathbf{K}$ is the field of rational functions of a normal complex projective variety, the canonical height of a subvariety is the mass of an appropriate bifurcation current and that a marked point is stable if and only if its canonical height is zero. We then establish the geometric dynamical Northcott property characterizing points of height zero in this setting, using a similarity argument. Moving from points to subvarieties, we propose, for polarized endomorphisms, a dynamical version of the geometric Bogomolov conjecture, recently proved by Cantat, Gao, Habegger, and Xie in the original setting of abelian varieties.

研究の動機と目的

• 特徴値0の関数体上での極化自己準同型写像に対して、幾何的力学的ノーサート性を確立すること。
• 複素解析的手法を用いて、canonical 高さ0と力学的安定性との関係を明らかにすること。
• 高次元において、幾何的ボゴモロフ予想の力学的版を定式化し、証明すること。
• ベイカー、ベンデット、デマコ、チャツィダカス＝フラシュフスキーらの先行結果を、高次元の射影的多様体へと拡張すること。
• 臨界部分多様体上での分岐カレントの非消滅を用いて、自己準同型写像の代数的族の安定性を分析すること。

提案手法

• 複素力学系を用いて、基底多様体 $\mathcal{B}$ 上の極化自己準同型写像族に対してファイバー化グリーンカレント $\widehat{T}_{\mathcal{f}}$ を関連付ける。
• 適切な分岐カレントの質量が、$\widehat{T}_{\mathcal{f}}^{\dim X}$ に対する積分を通じて、部分多様体の canonical 高さに等しいことを示す。
• カレント $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ の消滅を用いて、マークされた点が安定であるための必要十分条件（canonical 高さが0であること）を証明する。
• 類似性の議論を適用し、canonical 高さの特徴付けから、幾何的力学的ノーサート性を導出する。
• カレント $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ の非消滅を用いて、デスボーイズ族のような族の不安定性を示す。
• 分岐カレント解析を用いて、非等質な多項式スケュー積において、力学的ボゴモロフ予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上での射影的多様体の部分多様体が、極化自己準同型写像に関して canonical 高さ0となるのはいつか？
• RQ2 代数的自己準同型写像族において、canonical 高さ0と力学的安定性との間には、正確にどのような関係があるか？
• RQ3 高次元の極化自己準同型写像に対して、幾何的ボゴモロフ予想を力学的設定へと拡張できるか？
• RQ4 臨界部分多様体に関連する分岐カレントが消える条件は何か？ そしてそれは安定性にどのような意味を持つのか？
• RQ5 複素力学系の技法を用いて、関数体上での算術的力学系における有限性結果をどのように証明できるか？

主な発見

• 部分多様体の canonical 高さは、適切な分岐カレントの質量に等しく、算術的力学系と複素力学系を結ぶ。
• マークされた点が安定であるための必要十分条件は、その canonical 高さが0であることである。これは安定性の算術的特徴付けを提供する。
• 特徴値0の関数体上での極化自己準同型写像に対して、幾何的力学的ノーサート性が成立し、先行研究を一般化する。
• 非等質な多項式スケュー積（第一座標が等質）の場合に、力学的ボゴモロフ予想が証明される。
• デスボーイズ族はカレント $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ が非ゼロであるため、非J-安定であることが示され、非自明な分岐部分多様体を持つ。
• カレント $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ の非消滅は、臨界部分多様体が前周期的でないことを意味し、したがって族は不安定である。