[論文レビュー] Equilibration and Generalized GGE in the Lieb Liniger gas

Garry Goldstein, Natan Andrei|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、1次元Lieb-Linigerガスにおけるクエンチ力学を研究するため、有限サイズのYudson表現を開発した。熱力学的極限において、並進不変な初期状態は一般化ギブス集団（GGE）に均衡することを示した。強い結合領域では、密度および密度-密度相関関数の明示的な解析的表現を逆結合のべき級数として導出し、初期状態に局所的相関がある場合、対角集団に均衡し、その対角集団は一般化GGEに縮退することを確認した。

ABSTRACT

We study the nonequilibrium properties of the one dimensional Lieb Liniger model in the finite repulsion regime. Introducing a new version of the Yudson representation applicable to finite size systems and appropriately taking the infinite volume limit we are able to study equilibration of the Lieb Liniger gas in the thermodynamic limit. We provide a formalism to compute various correlation functions for highly non equilibrium initial states. We are able to find explicit analytic expressions for the long time limit of the expectation of the density, density density and related correlation functions. We show that the gas equilibriates to a diagonal ensemble which we show is equivalent to a generalized version of the GGE for sufficiently simple correlation functions, which in particular include density correlations.

研究の動機と目的

• 1次元Lieb-Linigerモデルのような可解な量子系における非平衡ダイナミクスと均衡化を理解すること。
• 熱力学的極限の計算に適用可能な有限サイズのYudson表現を開発すること。
• 極めて非平衡な初期状態に対する時間に依存する相関関数を計算すること。
• 長時間の定常状態が一般化ギブス集団（GGGE）か、標準的なGGEかを特定すること。
• 初期状態の相関が、遅い時間における有効な統計的演算子の形に与える役割を明確にすること。

提案手法

• Betheアンザッツ状態に適した新しい有限サイズYudson表現を導入し、正確な時間発展演算を可能にした。
• 系のサイズL → ∞にスケーリングすることで熱力学的極限をとる。密度N/L = 定数を一定に保つ。
• 時間に依存する物理量をグリーン関数と初期相関関数を用いて表現した。
• 1/cのべき級数展開を用いて、強い結合領域における密度および密度-密度相関関数の期待値を計算した。
• 非局所な保存量（積分の運動量の積を含む）を含む、対角集団としての一般化GGE（GGGE）を導出した。
• 初期状態に局所的相関がある場合、対角集団とGGGEが等価であることを確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子クエンチ後、Lieb-Linigerガスは初期状態に依存せずに定常状態に均衡するか？
• RQ2 長時間の定常状態は一般化ギブス集団（GGE）で記述されるか？ もし異なれば、どのような修正が必要か？
• RQ3 初期状態の相関は、遅い時間における有効な統計演算子の形にどのように影響を与えるか？
• RQ4 強い結合領域（1次元Tonks-Girardeau）極限において、時間に依存する相関関数の解析的表現を導出可能か？
• RQ5 一般化GGEが標準GGEに縮退する条件は何か？

主な発見

• 初期相関関数が滑らかであれば、初期状態に依存せず、長時間において対角集団に均衡する。
• 初期状態に局所的相関がある場合、一般化GGEは標準GGEに縮退する。これは、保存量の積が単一の保存量に分解可能になるためである。
• 強い結合領域では、密度および密度-密度相関関数が1/cのべき級数として計算され、明示的な1/cの一次補正が導出された。
• 半直線上のモット絶縁体初期状態では、密度は力学的輸送を示し、信号速度は約1/√σである。長時間の挙動は、定常密度に指数的減衰を伴う振動を示す。
• 長時間において、x → -∞ では密度が1/lに近づき、x ~ t では (1/2 + 4π/cl)/l に達する。これは力学的輸送を確認するものである。
• 初期状態に長距離相関がある場合には、非局所保存量（積分の運動量の積を含む）を含む一般化GGEが必要となる。