[論文レビュー] Equilibrium Strategies for Time-Inconsistent Stochastic Switching Systems

Hongwei Mei, Jiongmin Yong|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、状態に依存するレジームスイッチングと再帰的コスト関数を有する時間非整合的確率的スイッチングシステムの均衡戦略を開発する。多人数微分ゲームの枠組みを定式化することで、均衡ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を導出し、特定の条件下でその適切性を証明するとともに、非指数的割引を伴う確率的制御問題の時間整合的均衡戦略を確立する。

ABSTRACT

An optimal control problem is considered for a stochastic differential equation containing a state-dependent regime switching, with a recursive cost functional. Due to the non-exponential discounting in the cost functional, the problem is time-inconsistent in general. Therefore, instead of finding a global optimal control (which is not possible), we look for a time-consistent (approximately) locally optimal equilibrium strategy. Such a strategy can be represented through the solution to a system of partial differential equations, called an equilibrium Hamilton-Jacob-Bellman (HJB, for short) equation which is constructed via a sequence of multi-person differential games. A verification theorem is proved and, under proper conditions, the well-posedness of the equilibrium HJB equation is established as well.

研究の動機と目的

• 非指数的割引を伴う確率的スイッチングシステムにおける時間非整合的最適制御問題に対処すること。
• 時間非整合性のためグローバル最適性が達成できない状況において、時間整合的均衡戦略を構築すること。
• 複数人微分ゲームの系列としてモデル化することで、均衡ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を構築すること。
• 制御が拡散係数に影響を与えない場合に、均衡HJB方程式の適切性を確立すること。
• 検証定理を提示し、パワー・ユーティリティとレジームスイッチングダイナミクスを含む具体的な例を提示すること。

提案手法

• ポアソン確率測度とジャンプSDEに従うレジーム過程を用いて、状態に依存するレジームスイッチングを有する制御された確率的微分方程式を定式化する。
• 非指数的割引を有する再帰的コスト関数を導入し、最適制御問題における時間非整合性を生じさせる。
• 時間整合性を達成するために、問題を複数人微分ゲームの系列としてモデル化し、均衡HJB方程式を構築する。
• 導出された均衡戦略が正当であることを検証するための検証定理を導出する。
• パワー・ユーティリティを用いた具体的な例にフレームワークを適用し、累乗関数を含むアンサッツを用いて均衡HJB系を解く。
• 制御が拡散係数に影響を与えない特別な場合に、均衡HJB方程式の適切性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非指数的割引を伴う確率的スイッチングシステムにおける時間整合的均衡戦略は、どのように構築できるか？
• RQ2 状態依存の遷移強度を有するレジームスイッチングSDEに対する均衡HJB方程式の構造は何か？
• RQ3 制御が拡散係数に影響を与えない場合、均衡HJB方程式が適切であるための条件は何か？
• RQ4 この時間非整合的枠組みにおいて、導出された均衡戦略に対して検証定理を確立できるか？
• RQ5 状態依存のレジームスイッチングは、解の連続的依存性およびそれらに起因する制御戦略にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 均衡戦略は、時間非整合的制御問題における時間整合的行動を捉える「均衡HJB方程式」として知られる偏微分方程式系の解として導出される。
• 均衡HJB方程式は、複数人微分ゲームの系列として構築され、均衡選択のための厳密なフレームワークを提供する。
• 拡散係数が制御に依存しない場合、均衡HJB方程式の適切性が確立され、解の存在と一意性が保証される。
• 適切な正則性および成長条件の下で、導出された戦略が均衡条件を満たすことを確認する検証定理が証明された。
• パワー・ユーティリティを含む具体的な例において、均衡戦略は $ \bar{u}(s,x,i) = -\frac{b(i)x}{(1-\gamma)\sigma(i)^2} $ および消費 $ \bar{c}(s,x,i) = \left(\frac{g(s,s)}{\varphi(s,s,i)}\right)^{1/(1-\gamma)}x $ として明示的に計算可能であり、$ \varphi $ は常微分方程式系の解である。
• 適切な条件下で、均衡HJB系の解が適切であることが示され、実用的実装の有効性が検証された。