[論文レビュー] Equivalence between Random Stopping Times in Continuous Time

Eran Shmaya, Eilon Solan|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、弱い正則性条件の下で連続時間確率過程における混合停止時刻、確率的停止時刻、分布停止時刻の間の同値性を確立する。すべての3つの概念が最適停止問題および停止ゲームにおいて同一の報酬をもたらすことを証明し、Kuhnの定理を連続時間へと拡張し、確率的制御およびゲーム理論における基礎的概念を統一する。

ABSTRACT

Two concepts of random stopping times in continuous time have been defined in the literature, mixed stopping times and randomized stopping times. We show that under weak conditions these two concepts are equivalent, and, in fact, that all types of random stopping times are equivalent. We exhibit the significance of the equivalence relation between stopping times using stopping problems and stopping games. As a by-product we extend Kuhn's Theorem to stopping games in continuous time.

研究の動機と目的

• 連続時間確率過程における混合停止時刻と確率的停止時刻が同値であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 混合、確率的、分布停止時刻という異なる確率的停止時刻の定式化を、共通の同値性枠組みの下で統一すること。
• 同値な停止時刻が、最適停止問題および停止ゲームの両方において同一の報酬をもたらすことを示すこと。
• ゼロサムゲームにおける戦略の同値性に関するKuhnの定理を、離散時間から連続時間へと拡張し、確率的ゲームにおける基礎的同値性を確立すること。
• 2人プレイヤーの停止ゲームに対して、停止時刻の同値性に関して不変である対称的かつ分布に基づく報酬定式化を提供すること。

提案手法

• 停止時刻とランダム化パラメータの連合分布を用いて定義される、混合および確率的停止時刻の一般化としての分布停止時刻の概念を導入する。
• 停止時刻の累積分布関数の等価性、すなわち $\lambda(\{r : \mu(\omega,r) \leq t\}) = \rho_t(\omega)$ を用いて、停止時刻の同値性を定義する。
• 停止時刻を基本確率空間上に定義したものを、等価性を変換のもとで保存する拡張積空間 $\tilde{\Omega} = \Omega \times [0,T]$ に埋め込むためのリフト技術を用いる。
• 最適停止理論および不動点の議論を適用し、すべての3種類の確率的停止時刻において報酬の同値性が成立することを示す。
• 積測度 $P \otimes \lambda \otimes \lambda$ を用いて、停止ゲームの対称的報酬式を導出し、同値戦略に関して不変であることを保証する。
• 停止ゲームにおける報酬が、各プレイヤーの停止時刻の同値類にのみ依存し、その具体的な表現には依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間確率過程において、混合停止時刻と確率的停止時刻は同値か？
• RQ2 すべての種類の確率的停止時刻（混合、確率的、分布）を、単一の同値性枠組みの下で統一できるか？
• RQ3 停止時刻の同値性が、最適停止問題および停止ゲームの両方において報酬を保存するか？
• RQ4 ゼロサムゲームにおける戦略同値性に関するKuhnの定理を、連続時間の停止ゲームへと拡張できるか？
• RQ5 2人プレイヤーの停止ゲームに対して、停止時刻の同値性に関して不変である対称的かつ分布に基づく報酬定式化は存在するか？

主な発見

• 弱い正則性条件の下で、混合停止時刻と確率的停止時刻は同値であり、それぞれが分布停止時刻として表現可能である。
• すべての分布停止時刻は、一意の確率的停止時刻と少なくとも1つの混合停止時刻に同値である。
• リフト構成および測度論的同値性を用いて、同値な停止時刻は、すべての最適停止問題において同一の報酬をもたらすことが示された。
• 停止ゲームにおいて、同値な停止時刻は、相手の戦略にかかわらず同一の報酬をもたらし、同値性に関して不変であることが確認された。
• 対称的報酬式 $\mathbb{E}_{P\otimes\lambda\otimes\lambda}[X_{\mu^1} \mathbf{1}_{\mu^1 < \mu^2} + Y_{\mu^2} \mathbf{1}_{\mu^1 > \mu^2} + Z_{\mu^1} \mathbf{1}_{\mu^1 = \mu^2}}]$ が成立し、停止時刻の同値性に関して不変である。
• Kuhnの定理を連続時間へと拡張したことが証明され、停止時刻の同値類が停止ゲームにおける報酬結果を完全に決定することが示された。