[論文レビュー] Random Stopping Times in Stopping Problems and Stopping Games

Eilon Solan, Boris Tsirelson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、最適停止問題および停止ゲームで用いられる、確率的停止時刻の3つの概念—ランダム化、行動、混合—の同値性を確立する。最適停止問題における同値性が停止ゲームにおいても成立することを証明し、価値および均衡の概念がすべての3つのタイプにおいて一貫していることを保証する。これにより、確率的ゲームと停止問題の理論的基盤が統合される。

ABSTRACT

Three notions of random stopping times exist in the literature. We introduce two concepts of equivalence of random stopping times, motivated by optimal stopping problems and stopping games respectively. We prove that these two concepts coincide and that the three notions of random stopping times are equivalent.

研究の動機と目的

• 最適停止問題における3つの異なるランダム停止時刻の概念—ランダム化、行動、混合—に関する文献における曖昧さを解消すること。
• 最適停止問題におけるランダム停止時刻の同値性の定義と形式化を行うこと。
• 同値性の概念を停止ゲームに拡張し、問題ベースの同値性と一貫していることを証明すること。
• 価値や均衡の存在が停止時刻タイプの選択に依存しないことを示すこと。
• 同値なランダム停止時刻表現を用いて、ゼロサムおよび非ゼロサム停止ゲームの理論的基盤を統合すること。

提案手法

• 整数値をとる確率変数と外部の確率源を用いて、フィルトレーションを不要とするフレームワークを導入し、詳細な分布を定義する。
• 異なる確率的構成に基づき、3つのランダム停止時刻のタイプ—ランダム化（Chalasani & Jha）、行動（Yasuda）、混合（Aumann）—を定義する。
• 停止時刻と基礎的状態の同時分布に基づく同値性の概念を導入し、戦略的行動が同一であることを保証する。
• 測度論的議論と積確率空間を用いて、この定義のもとで3つの停止時刻概念が同値であることを証明する。
• 同値性を停止問題に適用し、最適停止時刻がタイプ間で保存されることを示す。
• ゲームの同値性を定義し、問題ベースの同値性と一致することを証明することで、停止ゲームへの同値性の拡張を実現し、均衡解析の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の3つのランダム停止時刻の概念—ランダム化、行動、混合—は、自然な同値性の定義のもとで同値であるか？
• RQ2 最適停止問題における同値性の概念は、停止ゲームにおける同値性の概念と一致するか？
• RQ3 1つの停止時刻タイプにおける価値または均衡の存在が、他のタイプにおいても存在することを意味するか？
• RQ4 停止時刻タイプの同値性を用いて、異なるモデリングフレームワーク間の停止ゲーム分析を統合できるか？
• RQ5 ε-最適性またはε均衡の概念が、異なるタイプのランダム停止時刻間で保存されるか？

主な発見

• 提案された同値性の定義のもとで、ランダム化、行動、混合の3つの停止時刻概念は数学的に同値である。
• 停止問題における同値性が停止ゲームにおける同値性を意味する。すなわち、戦略的結果は停止時刻タイプに依存しない。
• 2人ゼロサム停止ゲームの価値は、ランダム化、行動、混合のいずれの停止時刻タイプで計算しても同一である。
• すべての2人ゼロサム停止ゲームは、同値性と行動停止時刻に関する先行結果を用いて、3タイプのランダム停止時刻において価値を持つ。
• すべての2人非ゼロサム停止ゲームは、ランダム化および混合停止時刻においてε均衡を有する。これは、行動停止時刻に関する存在結果の拡張である。
• 1つのタイプにおけるε-最適停止時刻は、任意の同値なタイプに対してもε-最適であり、同様にε均衡についても同様の性質が成り立つ。これにより、解の概念の堅牢性が保証される。