[論文レビュー] Equivalence of plurisubharmonic singularities and Siu-type metrics

Dano Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、倍加理想層が一致する場合でさえ、擬凸関数の特異型がそのLelong数によって一意に特定されないことを示している。トータルなセクション環が有限生成でない大きな線束上に、同一の倍加理想層とLelong数を持つが、互いに同値でない特異性を有する無限族のシウ型特異ヘルミート計量を構成し、解析的でない場合の特異型の一意性の失敗を証明している。

ABSTRACT

We show by an example that the (equivalence class of) singularity of a plurisubharmonic function cannot be determined by the data of its Lelong numbers, in a nontrivial sense. Such an example is provided by Siu-type singular hermitian metrics associated to an effective line bundle. We also show that a Siu-type metric has analytic singularities if and only if the section ring of the line bundle is finitely generated.

研究の動機と目的

• 擬凸関数の特異型がそのLelong数によって一意に決定されるかどうかを調査すること。
• 線束のセクション環の有限生成性とそのシウ型計量の解析的性質との関係を検討すること。
• 同一の倍加理想層と一致するLelong数を持つが、特異性が同値でない反例を明示的に構成すること。
• 特にセクション環の有限生成性と関連して、シウ型計量が解析的特異性を有する条件を明確にすること。

提案手法

• Q-有効線束上にシウ型特異ヘルミート計量を用いた非自明なグローバル例を構成すること。
• ダメールィ近似を用いて、グアンとチョウの強開拡張定理により倍加理想層を等価にすること。
• ブークソム＝ファーヴル＝ヨンソンの(B-1)と(B-2)の同値性と強開拡張定理を組み合わせ、特異性を比較すること。
• 対数解消とダメールィ近似列を用いて、正規化変形上での特異性を分析すること。
• 背理法を用い、最小計量との比較により、シウ型計量が解析的特異性を有するならば、セクション環は有限生成でなければならないことを証明すること。
• 包含関係 $\mathcal{J}(h_{\min}^m) \subset \mathcal{J}(h_{ \text{Siu},i}^m) \subset \mathcal{J}(h_{\min}^m)$ と開拡張定理を用いて、理想層の等価性を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬凸関数の特異型は、そのLelong数によって一意に特定できるか？
• RQ2 同一の倍加理想層とLelong数を持つシウ型計量は、特異性の観点で必ず同値となるか？
• RQ3 線束のセクション環の有限生成性とそのシウ型計量の解析的性質との間の正確な関係は何か？
• RQ4 同一の倍加理想層とLelong数を持つが、特異性が同値でない無限族の非同値なシウ型計量を構成できるか？
• RQ5 どのような条件下でシウ型計量が解析的特異性を有さなくなるか？

主な発見

• セクション環が有限生成でない大きな線束上に、無限族のシウ型計量 $\{e^{-\varphi_i}\}_{i \in I}$ が存在し、任意の $m > 0$ および $j \neq k$ に対して $\mathcal{J}(m\varphi_j) = \mathcal{J}(m\varphi_k)$ が成り立つが、$\varphi_j$ と $\varphi_k$ は特異性において同値でない。
• シウ型計量が解析的特異性を有するのは、その線束のセクション環が有限生成であるときかつそのときに限る。
• すべての正規化変形上で倍加理想層 $\mathcal{J}(mu) = \mathcal{J}(mv)$ かつLelong数が一致する場合でも、特異性の同値性は保証されない。
• 擬効果的線束の最小計量 $\varphi_D$ は $\varphi_D \preceq \varphi_{\text{Siu},i}$ を満たし、$\varphi_{\text{Siu},i} \sim \varphi_D$ が成り立つのは、セクション環が有限生成である場合に限る。
• セクション環が有限生成でない場合、シウ型計量は非解析的特異性を有し、このような性質を示す擬凸関数の新しい例が得られる。
• 定理4.3の証明により、$u$ が解析的特異性を有し、すべての正規化変形上で $u$ と $v$ のLelong数が一致するならば $u \preceq v$ が成り立つことが示され、これが補題4.4における同値条件の確立に不可欠である。