[論文レビュー] Equivalent moduli of continuity, Bloch's theorem for pluriharmonic mappings in $\mathbb{B}^{n}$

S-H Chen, Saminathan Ponnusamy+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2011

Analytic and geometric function theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単位球体 $\mathbb{B}^n$ 内の多調和写像に対して、シュバルツ＝ピック型定理を確立し、同値な連続モジュラスを導出し、このような写像におけるランデウの定理およびブロッホの定理を証明する。また、リプシッツ型空間における新たなノルム同値性を導入し、ヤコビアン行列式の最大歪曲率を用いてブロッハ定数の鋭い上限を求める。

ABSTRACT

In this paper, we first establish a Schwarz-Pick type theorem for pluriharmonic mappings and then we apply it to discuss the equivalent norms on Lipschitz-type spaces. Finally, we obtain several Landau's and Bloch's type theorems for pluriharmonic mappings.

研究の動機と目的

• 単位球体 $\mathbb{B}^n$ 内の多調和写像に対するシュバルツ＝ピック型不等式を確立すること。
• 連続モジュラスを用いたリプシッツ型空間における同値ノルムの特徴付け。
• $\mathbb{B}^n$ 内の多調和写像に対するランデウおよびブロッハ型の定理を導出すること。
• ヤコビアン行列式と歪曲率の境界を用いて、ブロッハ定数の鋭い推定値を求める。

提案手法

• $K$-擬正則調和写像の枠組みを用いて、多調和写像に対する一般化されたシュバルツ＝ピック不等式を導出する。
• 不等式を用いて、正則な主要関数 $\omega$ を通じてリプシッツ型空間における同値ノルムを特徴付ける。
• 長さが有限な曲線における積分的条件を用いて、$\Lambda_\omega$-拡張領域の幾何的特徴付けを適用する。
• 凸写像に対するフィッツジェラルド＝トーマス補題を用いて、$\mathbb{B}^n$ 内の高階導関数の境界を求める。
• 積分的主要関数を用いて、ブロッハ半径を推定するための正規化写像 $F(\zeta) = \frac{1}{t}[f(p(\zeta)) - f(z_0)]$ を構成する。
• 最大値の原理と行列式の境界を用いて、$(1-|z_0|)^n |\det f_z(z_0)| = 1$ を満たす極値点 $z_0$ を局所化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球体 $\mathbb{B}^n$ 内の多調和写像に対する鋭いシュバルツ＝ピック型不等式は何か？
• RQ2 リプシッツ型空間における多調和写像の同値な連続モジュラスはどのように特徴付けられるか？
• RQ3 単位球体 $\mathbb{B}^n$ 内の多調和写像に対する最適なブロッハ定数は何か？
• RQ4 単位球体 $\mathbb{B}^n$ 内の多調和写像の像に含まれる最大のシュライヒト球の半径は何か？
• RQ5 ヤコビアン行列式の歪曲率推定値は、単調性およびブロッハ型の定理にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 鋭いシュバルツ＝ピック型不等式が確立された：$ |\nabla\overline{f}(z)\cdot\theta| + |\nabla f(z)\cdot\overline{\theta}| \leq K \frac{1 - |f(z)|^2}{1 - |z|^2} $ であり、$ K = \frac{1+k}{1-k} $ で $ f \in \mathcal{H}_k(\mathbb{B}^n) $ を満たす。
• ブロッハ定数 $ B_f $ は、$ B_f \geq \max_{0<t<1} \left\{ \frac{\alpha \pi^{4n} t}{8m(4M(t))^{4n-1}} \right\} $ を満たす。ここで $ M(t) = \frac{M^*}{t} \log\left(\frac{1}{1-t}\right) $ である。
• $ |f(z)| < 1 $ を満たす $ f \in \mathcal{H}_k(\mathbb{B}^n) $ に対して、ヤコビアン行列式は $ (1 - |z_0|)^n |\det f_z(z_0)| = 1 $ を満たす点 $ z_0 $ で最大値をとる。
• $ (m_2 + m_3)\rho_1 < 1 $ を満たす場合、$ f $ は $ \mathbb{B}^n(0, \rho_1) $ で単調であることが保証され、このとき $ \rho_1 \leq r_3 = 1/3 $ である。ここで $ m_2 \approx 9.444 $、$ m_3 = 6.75 $ である。
• 正則な主要関数条件 $ \int_0^\delta \frac{\omega(t)}{t} dt \leq C\omega(\delta) $ および $ \delta \int_\delta^\infty \frac{\omega(t)}{t^2} dt \leq C\omega(\delta) $ を用いて、リプシッツ型空間におけるノルム同値性が確立される。
• 写像 $ f(\mathbb{B}^n) $ は、半径が少なくとも $ \max_t \left\{ \frac{\alpha \pi^{4n} t}{8m(4M(t))^{4n-1}} \right\} $ のシュライヒト球を含む。ここで $ M(t) $ は正規化写像 $ F $ を用いて定義される。