[論文レビュー] On some moduli of complexes on K3 surfaces

Jason Lo|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、K3曲面 $X$ 上のブリッジランド半安定な複体のモジュライスタックと、そのフォーリエ＝ムカイ双対 $ ackslash hat{X}$ 上の $\mu$-半安定な局所自由な層のモジュライスタックの間に、特定の勾配条件の下で同型が存在することを確立する。この結果は、射影的スキームへのモルフィズムを通じて、ウーレンベックコンパクト化の幾何的実現を提供し、ブルッツォ＝マチオチャのヒルベルトスキーム同型を拡張し、先行研究における集合論的双対性の代わりに代数幾何的代替案を提示する。

ABSTRACT

We consider moduli stacks of Bridgeland semistable objects that previously had only set-theoretic identifications with Uhlenbeck compactification spaces. On a K3 surface $X$, we give examples where such a moduli stack is isomorphic to a moduli stack of slope semistable locally free sheaves on the Fourier-Mukai partner $\hat{X}$. This yields a morphism from the stack of Bridgeland semistable objects to a projective scheme, which induces an injection on closed points. It also allows us to extend a theorem of Bruzzo-Maciocia on Hilbert schemes to a statement on moduli of complexes.

研究の動機と目的

• K3曲面 $X$ 上のブリッジランド半安定な複体のモジュライスタックと、そのフォーリエ＝ムカイ双対上の $\mu$-半安定な局所自由層のモジュライスタックの間の幾何的同型を確立すること。
• [LQ, Theorem 5.4] におけるブリッジランド半安定な対象とウーレンベックコンパクト化空間の間の集合論的双対性に対して、特にランクと次数が互いに素でない場合を含め、代数幾何的代替案を提供すること。
• ブルッツォ＝マチオチャのヒルベルトスキームとギーゼッカー安定層のモジュライの間の同型を、$\mu$-半安定層を含むより広いクラスのモジュライスタックへと拡張すること。
• ブリッジランド半安定な対象のモジュライスタックが普遍的に閉じていることを示し、$\hat{X}$ 上のすべての $\mu_{\hat{\omega}}$-半安定な層がフォーリエ＝ムカイ変換を介してこのような対象から得られることを示すこと。

提案手法

• $X$ 上のブリッジランド半安定な対象と $\hat{X}$ 上の $\mu$-半安定な層との関係を、$D(X) \to D(\hat{X})$ へのフォーリエ＝ムカイ変換 $\Psi$ を用いて確立し、$X$ と $\hat{X}$ 間の導来同値を活用する。
• ヒューブレヒツの導来同値なK3曲面に関する結果を適用し、$X$ 上の $\mu_{\omega}$-安定な局所自由層で勾配 $\mu_{\omega} = \beta\omega$ を満たすもののパラメータ空間として、滑らかなモジュライ空間 $\hat{X}$ の存在を保証する。
• $\mathcal{M}^{\sigma ss}_{X,ch}$ から $\hat{X}$ の滑らかな曲線 $C \subset \hat{X}$ 上の半安定層の射影的スキーム $M^{ss}_{C,(r,d)}$ へのモルフィズム $\gamma\alpha\Psi_{\mathcal{M}}: \mathcal{M}^{\sigma ss}_{X,ch} \to M^{ss}_{C,(r,d)}$ を構成する。
• 有界性および基底変換の結果（例：[HL, Theorem 8.2.12]）を用いて、$m \gg 0$ のとき、曲線 $C \in |m\hat{\omega}|$ への制限写像が閉じた点の集合に単射を誘導することを保証する。
• ブリッジランド安定性を定義する中心的質量の公式 $Z(E) = \text{rk}(E)\frac{\omega^2}{2} + i(c_1(E)\omega - \text{rk}(E)\beta\omega) + c(E)$ を用い、位相1の対象を $\mu_{\omega}(E) = \beta\omega$ を満たすものとして特定する。
• $t$-構造の心 $\mathcal{A}(\beta,\omega)$ を用いてブリッジランド安定性条件を定義し、位相1の半安定な対象が臨界状況での多項式半安定な対象と一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3曲面 $X$ 上のブリッジランド半安定な複体のモジュライスタックは、そのフォーリエ＝ムカイ双対 $\hat{X}$ 上の $\mu$-半安定な局所自由層のモジュライスタックと同型であるか？
• RQ2 ランクと次数が互いに素でない場合を含め、ブリッジランドモジュライスタックから曲線上の半安定層の射影的スキームへのモルフィズムが、閉じた点の集合に単射を誘導するか？
• RQ3 ブルッツォ＝マチオチャのヒルベルトスキームとギーゼッカー安定層のモジュライの間の同型は、ブリッジランド安定性を介して $\mu$-半安定層を含む形に拡張可能か？
• RQ4 $\hat{X}$ 上の与えられたチャーン類 $\hat{ch}$ を持つすべての $\mu_{\hat{\omega}}$-半安定なねじれのない層が、フォーリエ＝ムカイ変換を介して $X$ 上の $\sigma$-半安定な対象の像として得られるか？

主な発見

• K3曲面 $X$ 上のブリッジランド半安定な対象のモジュライスタック $\mathcal{M}^{\sigma ss}_{X,ch}$ は、そのフォーリエ＝ムカイ双対 $\hat{X}$ 上の $\mu$-半安定な局所自由層のモジュライスタック $\mathcal{M}^{\mu ss,lf}_{\hat{X},\hat{ch}}$ と、条件 $\mu_{\omega}(E) = \beta\omega$ の下で同型である。
• $\mathcal{M}^{\sigma ss}_{X,ch}$ から曲線 $C \subset \hat{X}$ 上の半安定層の射影的スキーム $M^{ss}_{C,(r,d)}$ へのモルフィズム $\gamma\alpha\Psi_{\mathcal{M}}: \mathcal{M}^{\sigma ss}_{X,ch} \to M^{ss}_{C,(r,d)}$ が構成され、この写像は閉じた点の集合に単射を誘導する。
• 証明により、$\hat{X}$ 上のチャーン類 $\hat{ch}$ を持つすべての $\mu_{\hat{\omega}}$-半安定なねじれのない層が、$X$ 上の $\sigma$-半安定な対象のフォーリエ＝ムカイ変換の像として得られることを示し、この $\hat{ch}$ に対して非局所自由な $\mu$-半安定層は存在しないことが示される。
• $\mathcal{M}^{\sigma ss}_{X,ch}$ は普遍的に閉じている。なぜなら、普遍的に閉じたスタックへの固有射を通して像として得られるからである。
• 本結果は、ブルッツォ＝マチオチャの $\text{Hilb}^n(X)$ と $\hat{X}$ 上のギーゼッカー安定層のモジュライの間の同型を、ブリッジランド安定性を介して $\mu$-半安定層を含む形に拡張し、ヒルベルトスキームをブリッジランド半安定な複体の部分スタックとして実現する。