[論文レビュー] Equivariant Dimensional Regularization

Stefan Weinzierl|ArXiv.org|Mar 17, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、パリティ破れや超対称性を有する理論における次元正則化におけるγ⁵の一貫した取り扱いを可能にする、新しい正則化スキームである「等変次元正則化」を導入する。グロテンディークのK関手を用いて非整数次元のベクトル空間を定義することで、HVに類似したスキームと4次元スキームの2つが可能となり、両者ともローレンツ不変性を保ちつつクリフォード代数の変形に対処できる。4次元スキームは実用性の観点から推奨され、明示的な1ループ異常計算によりバーデインの結果と整合することが確認された。

ABSTRACT

The calculation of loop amplitudes with parity violation or spin effects within dimensional regularization needs a consistent definition of gamma5. Also loop calculations in supersymmetric theories need a consistent definition of gamma5. In this paper we develop a new formalism, which allows us to define consistent regularization schemes. We use Grothendieck's K-functor to construct finite-dimensional vectorspaces of non-integer rank. The rank will play the role of the ``4-2eps'' in conventional dimensional regularization. We then define two regularization schemes, one similar to the 't Hooft--Veltman scheme, the other one as a scheme, where all algebra is performed in four dimensions. Lorentz invariance is maintained in both cases. However the structure of the Clifford algebra cannot be preserved. We show that the HV-like scheme and the four-dimensional scheme correspond to two different deformations of the Clifford algebra. It is the purpose of this paper to advocate the four-dimensional scheme for future calculations, since it is easier to use. As a consistency check we performed explicit one-loop calculations of various triangle anomalies in both schemes and we found agreement with Bardeen's results.

研究の動機と目的

• パリティ破れや超対称性を有する理論における次元正則化内でのγ⁵の定義に関する不整合を解消すること。
• ローレンツ不変性を保ちつつ、非整数次元の有限次元ベクトル空間を許容する正則化フレームワークを構築すること。
• 『t Hooft–Veltman』に類似したスキームと完全に4次元のスキームの2つを提案・比較し、実用的かつ一貫したループ計算を可能とすること。
• 4次元スキームを、一貫性を損なわずに使いやすいと位置づけること。
• バーデインの結果と一致する明示的な1ループ三角異常計算により、このスキームを検証すること。

提案手法

• グロテンディークのK関手を用いて、従来の「4-2ε」次元性に代わる非整数次元のベクトル空間を構築する。
• 2つの正則化スキームを定義する：1つは't Hooft–Veltmanに類似した次元正則化を採用し、もう1つはすべての代数的計算を4次元で行うもの。
• 両スキームにおいてクリフォード代数を変形したものとして扱い、4次元スキームは別個の変形に対応する。
• 完全なクリフォード代数構造を保存できないにもかかわらず、両スキームでローレンツ不変性を維持する。
• γ⁵を含む1ループ振幅、特に三角異常に対して形式的枠組みを適用する。
• 両スキームにおける異常を明示的に計算し、既知の結果との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パリティ破れや超対称性を有する理論における次元正則化において、γ⁵をどのように一貫して定義できるか？
• RQ2 ローレンツ不変性を保ちつつ非整数次元を扱える一貫した正則化スキームの背後にある数学的構造は何か？
• RQ3 クリフォード代数の異なる変形は、γ⁵を含むループ計算の一貫性にどのように影響するか？
• RQ4 完全に4次元の正則化スキームを構築でき、一貫性を保ちつつ実用的計算を簡略化できるか？
• RQ5 提案されたスキームは、バーデインが導出した正しい三角異常結果を再現できるか？

主な発見

• 完全なクリフォード代数を保存しないが、γ⁵依存振幅に対する従来の次元正則化の代替として一貫的かつ実用的な4次元スキームが得られた。
• 両スキームにおける明示的な1ループ三角異常計算は、バーデインの異常定理と整合的であることが確認された。
• HVに類似したスキームと4次元スキームは、クリフォード代数の2つの異なる変形に対応しており、それらの異なる代数的構造が説明できる。
• グロテンディークのK関手の使用により、非整数次元のベクトル空間に対する厳密な数学的基盤が得られ、「4-2ε」の直感的仮定に代わるものとなった。
• 4次元スキームは、一貫性を損なわず、実用的計算においてより効率的かつ使いやすいことが判明した。
• 形式的枠組みは、完全なクリフォード代数構造の破綻にもかかわらず、両スキームでローレンツ不変性を一貫して維持できた。