[論文レビュー] Equivariant intersection theory

Dan Edidin, William Graham|ArXiv.org|Sep 25, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、線型代数的群の作用をもつ代数的空間に対して、Totaroによる $EG$ の表現の開部分集合による近似を用いて、一般化された通常のチャウ群を備えた等長的チャウ群を用いて、等長的交差理論を構築する。主な貢献は、有理数係数の等長的チャウ群と商代数的空間・スタックのチャウ群との間の同型を確立することであり、これにより $χ_{1,1}$ や $χ_{1,1}$ のようなモジュライスタックのチャウ環の計算が可能になり、特徴が正である場合でも、単純な安定化子を必要とせずに交差理論を拡張できる。

ABSTRACT

This is a revised and shortened version of our paper "Equivariant intersection theory" (alg-geom/9603008). In particular, the sections on Riemann-Roch and localization are omitted. They will appear in separate papers, at which time alg-geom/9603008 will become obsolete. We have intsead added a section of examples, and have include a calculation of the integral Chow ring of the mdouli stack of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 線型代数的群の作用をもつ代数的空間に対する、従来の不変サイクルに基づく定義の制限を克服する、堅牢な等長的交差理論の構築。
• Totaroによる $EG$ の表現の開部分集合による近似を用いて、ホモトピー不変性と交差積を可能にする、等長的チャウ群の構成。
• 適切な特徴における、有理数係数の等長的チャウ群と商代数的空間・スタックのチャウ群との間の同型の確立。
• $\mathcal{M}_{1,1}$ や $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のようなモジュライスタックのチャウ環の計算のための枠組みの提供。
• スムーズな商スタックに対して、等長的チャウ群が整数係数の交差環を定義し、すべての次数で成り立ち、スタックの表示に依存しないことの証明。

提案手法

• $G$ の表現 $V$ で、$G$-不変な高余次元の開部分集合を持つ $X \times V$ 上の不変サイクルの同値類として、等長的チャウ群 $A^G_*(X)$ を定義。
• 表現の極限による Totaro の $EG$ の構成を用い、$V - U$ が高余次元になるように $V$ を選ぶことで、等長的類を $X \times V$ 上のサイクルとしてモデル化。
• 関手性、チャーン類、外積の性質を確立し、標準的交差理論と整合性を保つ。
• 正規作用の下で $A^G_{i+\dim G}(X) \otimes \mathbb{Q} \cong A_i(X/G) \otimes \mathbb{Q}$ を証明し、安定化子が自明な場合には $\mathbb{Q}$-テンソルなしの同型を示す。
• 等長的チャウ群が $[X/G]$ の表示に依存せず、$X$ がスムーズな場合、$A^*_G(X)$ が $[X/G]$ の整数係数チャウ環に一致することを示す。
• この同型を用いて、任意の特徴で、単純な安定化子を必要とせずに、商の有理数係数チャウ群に交差積が存在することを証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変サイクルに基づく従来の定義の制限を克服し、交差積とホモトピー不変性を備えた、等長的チャウ群の定義は可能か？
• RQ2 正規作用の下で、有理数係数の等長的チャウ群と商代数的空間のチャウ群との間には自然な同型が存在するか？
• RQ3 スムーズな商スタックの等長的チャウ環は、整数係数チャウ環と同一視可能であり、文献に登場する有理数係数の構成と一致するか？
• RQ4 等長的アプローチにより、ギレットとヴィスティオリの交差理論が特徴が正である場合に、単純な安定化子を必要とせずに拡張可能か？
• RQ5 等長的手法を用いて、楕円曲線のモジュライスタック $\mathcal{M}_{1,1}$ 及びそのコンパクト化の整数係数チャウ環を計算可能か？

主な発見

• 正規作用の下で、$A^G_{i+\dim G}(X) \otimes \mathbb{Q} \cong A_i(X/G) \otimes \mathbb{Q}$ が自然に成り立ち、安定化子が自明な場合には整数係数の同型も成立。
• 等長的チャウ群 $A^G_*(X)$ は、$[X/G]$ のスタックにのみ依存し、商の表示の選び方に依存しない。
• $X$ がスムーズな場合、$A^1_G(X)$ はスタック $[X/G]$ のマムフォードのピカール群と同型であり、$A^*_G(X)$ は $[X/G]$ の整数係数チャウ環と一致する。
• 理論により、$X$ がスムーズな場合、$A^*_G(X)$ に交差積が定義され、商の同型を介して、任意の特徴で商の有理数係数チャウ群に交差積が存在することが示される。
• マムフォードの結果 $\operatorname{Pic}_{\text{fun}}(\mathcal{M}_{1,1}) = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の簡単な証明が得られ、$\mathcal{M}_{1,1}$ および $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ の整数係数チャウ環が計算可能。
• 特徴 $p$ の場合でも、単純な安定化子を必要とせず、ギレットとヴィスティオリの結果を特徴ゼロを超えて拡張可能。