[論文レビュー] Equivariant K-theory and Higher Chow Groups of Smooth Varieties

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、分解可能トーラス作用をもつ滑らかで、非等不変な高次チャウ群と等不変な高次チャウ群を結ぶスペクトル系列を確立し、それが退化することを証明し、滑らかで射影的な多様体に対して明示的な公式を与える。有理係数を用いることで、結果は連結で分解可能な再帰的群へ拡張され、グレアムの定理の一般化と、高次K理論における修正された等不変リーマン・ローチ定理が得られる。

ABSTRACT

For any variety X with an action of a split torus over a field, we establish a spectral sequence connecting the equivariant and the non-equivariant higher Chow groups of X. For X smooth and projective, we give an explicit formula relating the equivariant and the non-equivariant higher Chow groups. This in particular implies that the spectral sequence degenerates. These results also hold with rational coefficients for action of any connected and split reductive group. As applications to the above results, we show that for a connected linear algebraic group G acting on a smooth projective variety X, the forgetful map K G i (X) → Ki(X) induces an isomorphism K G i (X)/IGK G i (X) ∼ = − → Ki(X) with rational coefficients. This generalizes a result of Graham to higher K-theory of such varieties. We also prove a refinement of the equivariant Riemann-Roch theorem of [17] and [16] for such varieties, which leads to the generalizations of the main results of [7] and [9] to the equivariant higher K-theory.

研究の動機と目的

• 分解可能トーラス作用をもつ多様体に対して、等不変および非等不変な高次チャウ群を結ぶスペクトル系列を確立すること。
• 滑らかで射影的な多様体に対して、等不変および非等不変な高次チャウ群を関連付ける明示的な公式を導出すること。
• K理論における無視写像に関するグレアムの結果を、有理係数を用いた高次K理論へ一般化すること。
• 滑らかで射影的な多様体における再帰的群作用の文脈で、高次K理論の等不変リーマン・ローチ定理を修正すること。
• [7]および[9]の結果を等不変高次K理論の設定へ拡張すること。

提案手法

• 分解可能なトーラスの作用フィルトレーションを介して、等不変高次チャウ群から非等不変のものへ向かうスペクトル系列を構成すること。
• Xの滑らかさと射影性を用いて、スペクトル系列の退化を証明し、等不変高次チャウ群の明示的公式を得ること。
• 有理係数を適用して、トーラス作用から連結で分解可能な再帰的群への結果の拡張を行うこと。
• 無視写像 $ K^G_i(X) \to K_i(X) $ を分析し、有理係数を用いたとき、増幅イデアル $ I_G $ で割ることで同型が得られることを示すこと。
• 等不変K理論および高次チャウ群の構造を組み込むことで、等不変リーマン・ローチ定理を修正すること。
• スペクトル系列および退化を活用して、[7]および[9]の高次K理論に関する先行結果を等不変設定へ一般化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解可能トーラス作用をもつ滑らかな多様体に対して、等不変および非等不変な高次チャウ群はどのように関係するか？
• RQ2 等不変および非等不変な高次チャウ群を結ぶスペクトル系列は、どのような条件下で退化するか？
• RQ3 K理論における無視写像に関するグレアムの定理は、有理係数を用いた高次K理論へどの程度一般化可能か？
• RQ4 滑らかで射影的な多様体の文脈で、高次K理論の等不変リーマン・ローチ定理はどのように修正可能か？
• RQ5 これらの結果は、有理係数を用いた等不変K理論の構造にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 分解可能トーラス作用をもつ滑らかな多様体に対して、等不変および非等不変な高次チャウ群を結ぶスペクトル系列が構成された。
• 滑らかで射影的な多様体では、このスペクトル系列が退化し、等不変高次チャウ群の明示的公式が得られた。
• 有理係数を用いることで、結果は任意の連結で分解可能な再帰的群の作用へ拡張された。
• 有理係数を用いた滑らかで射影的な多様体に対して、無視写像 $ K^G_i(X) \to K_i(X) $ は、$ K^G_i(X)/I_G K^G_i(X) \xrightarrow{\sim} K_i(X) $ を誘導する同型を与える。
• [7]および[9]の結果を高次K理論へ一般化する修正版の等不変リーマン・ローチ定理が確立された。
• この枠組みにより、再帰的群作用下での滑らかで射影的な多様体の等不変K理論における主要な定理が高次K理論へ拡張可能となった。