[論文レビュー] Equivariant Localization of Path Integrals

Richard J. Szabo|ArXiv.org|Aug 12, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 122被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、BRST 量化と等変コhomology を用いて、フェยマン経路積分の等変局所化技術を開発し、可積分およびトポロジカルな量子場理論における量子分配関数の正確な評価を可能にする。主な貢献は、対称性と局所化公式を結びつける体系的な幾何的枠組みの確立であり、量子力学、インデックス定理、ゲージ理論の分野への応用を含む。

ABSTRACT

We review equivariant localization techniques for the evaluation of Feynman path integrals. We develop systematic geometric methods for studying the semi-classical properties of phase space path integrals for dynamical systems, emphasizing the relations with integrable and topological quantum field theories. Beginning with a detailed review of the relevant mathematical background -- equivariant cohomology and the Duistermaat-Heckman theorem, we demonstrate how the localization ideas are related to classical integrability and how they can be formally extended to derive explicit localization formulas for path integrals in special instances using BRST quantization techniques. Various loop space localizations are presented and related to notions in quantum integrability and topological field theory. We emphasize the common symmetries that such localizable models always possess and use these symmetries to discuss the range of applicability of the localization formulas. A number of physical and mathematical applications are presented in connection with elementary quantum mechanics, Morse theory, index theorems, character formulas for semi-simple Lie groups, quantization of spin systems, unitary integrations in matrix models, modular invariants of Riemann surfaces, supersymmetric quantum field theories, two-dimensional Yang-Mills theory, conformal field theory, cohomological field theories and the loop expansion in quantum field theory. Some modern techniques of path integral quantization, such as coherent state methods, are also discussed. The relations between equivariant localization and other ideas in topological field theory, such as the Batalin-Fradkin-Vilkovisky and Mathai-Quillen formalisms, are presented.

研究の動機と目的

• 等変コhomology と局所化の原則を用いて、経路積分の正確な評価のための幾何的枠組みを確立すること。
• 可積分およびトポロジカルな量子場理論における対称性を、局所化を通じた正確な可解性に結びつけること。
• 有限次元の局所化技術を無限次元のループ空間および位相空間経路積分へと拡張すること。
• 等変手法を通じて、BRST 量化、コhomological場理論、トポロジカル場理論を統一すること。
• 対称性に基づく還元を用いて、量子力学系、行列モデル、ゲージ理論のための明示的な局所化公式を導出すること。

提案手法

• 等変コhomology における Duistermaat-Heckman 定理および Berline-Vergne の局所化を用いて、経路積分を有限次元寄与に還元する。
• 等変コhomology の Cartan モデルを適用し、シンプレクティック多様体上の等変微分作用素およびモーメント写像を定義する。
• 超ループ空間上に BRST 演算子 $ Q_T $ を構成し、$ LG times S^1 $ の対称性を符号化する。この演算子は零指数性と等変性を満たす。
• Weil モデルにおける一般化されたゲージフェルミオン $ \psi_T $ を導入し、$ Q_T $-正確な変形によって局所化を実装する。
• ループ空間のシンプレクティック形式 $ \Omega_T = \Omega + \int_0^T \frac{1}{2}(\phi^a(t))^2 dt $ を導出する。ここに動的な補助場が組み込まれている。
• Mathai-Quillen 形式および Batalin-Fradkin-Vilkovisky の制約を適用し、経路積分の局所化が特性類およびインデックス定理に関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的対称性を持つ場理論における経路積分の局所化に、等変コhomology をどのように応用できるか。
• RQ2 古典的可積分性と量子経路積分の局所化との間の幾何的関係は何か。
• RQ3 BRST および Weil モデルにおける等変コhomology は、位相空間経路積分の正確な評価をどのように促進するか。
• RQ4 ループ空間の対称性および超幾何学は、どのように有限次元の局所化を場理論へと拡張するか。
• RQ5 トポロジカル場理論における局所化公式は、群論におけるインデックス定理および特性式とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿では、位相空間上の等変コhomological局所化の特別な場合として、Witten および Wu の局所化公式を導出している。
• Niemi-Tirkkonen の公式は、超ループ空間上での動的な Weil 代数場を用いて、非アーベル群へと一般化された。
• 等変 BRST 演算子 $ Q_T $ は $ Q_T^2 = \int_0^T dt \, \frac{d}{dt} $ を満たし、零指数性およびループ空間幾何学と整合性を持つ。
• 作用 $ S_T + \Omega_T $ は $ Q_T $ および $ \mathcal{W}_T $ に関して不変であり、経路積分のシンプレクティックおよび等変構造を確認している。
• 局所化手順により、2次元ヤン・ミルズ理論、自己対称場理論、およびコhomological場理論における分配関数の正確な結果が得られた。
• Mathai-Quillen および Batalin-Fradkin-Vilkovisky の形式を用いることで、トポロジカル場理論と物理的モデルが統一され、特定の状況では等価であることが示された。