[論文レビュー] Equivariant Matrix Factorizations and Hamiltonian reduction

Sergey Arkhipov, Tina Kanstrup|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、射影的双対の導来ファイバー $\mu^{-1}(0)$ 上の $G$--equivariant な coherent sheaves の導来圏と、$T^*X \times \mathfrak{g}$ 上の potential $W = \mu$ を持つ $G$-equivariant な行列因子化の導来圏の間の同値性を確立する。ここで $\mu: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ は moment map である。この結果により、$D^b(\operatorname{Coh}^{L_{\text{top}}(B)}(L_{\text{top}}(X)))$ の非無限圏的で具体的なモデルが得られ、行列因子化を通じて導来ループ空間とハミルトニアン還元が結びつけられる。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth scheme with an action of an algebraic group $G$. We establish an equivalence of two categories related to the corresponding moment map $μ: T^*X o Lie(G)^*$ - the derived category of G-equivariant coherent sheaves on the derived fiber $μ^{-1}(0)$ and the derived category of $G$-equivariant matrix factorizations on $T^*X imes Lie(G)$ with potential given by $μ$.

研究の動機と目的

• 導来ループ空間 $L_{\text{top}}(X)$ 上の $L_{\text{top}}(B)$-equivariant な coherent sheaves の導来圏の、無限圏的道具を使わない具体的なモデルを構成すること。
• この圏を moment map と行列因子化を通じてハミルトニアン還元に関連付けること。
• $D^b(\operatorname{Coh}^{L_{\text{top}}(B)}(L_{\text{top}}(X)))$ の非無限圏的実現を、$G$-equivariant な行列因子化を用いて与えること。
• 再帰的代数群への埋め込みを用いて、同値性を任意の線形代数群へ拡張すること。

提案手法

• Hochschild-Kostant-Rosenberg 定理を用いて、$\mathcal{O}_{L_{\text{top}}(X)}}$ を微分形式の DG-代数 $\Omega_X$ と同一視する。
• Koszul双対性を適用し、$\Omega_X$-加群を $\Lambda(\mathfrak{b}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$-加群に結びつけ、$L_{\text{top}}(B)$-equivariance を符号化する。
• moment map からの微分をもつ $G$-equivariant DG-代数 $\Lambda(\mathfrak{g}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$ として、導来ファイバー $\mu^{-1}(0)$ を構成する。
• potential $W: T^*X \times \mathfrak{g} \to \mathbb{C}$ を、$\mu \times \text{id} \circ \langle \cdot, \cdot \rangle$ の合成として定義し、moment map のペアリングを符号化する。
• 線形代数群 $H$ を再帰的群 $G$ に埋め込むことで、一般の場合を再帰的の場合に還元する。
• 導来 McKay 対応と導来商 $\mu^{-1}(0)/G$ の構造を用いて、同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来ループ空間 $L_{\text{top}}(X)$ 上の $L_{\text{top}}(B)$-equivariant な coherent sheaves の導来圏は、無限圏的道具を使わずに実現可能か？
• RQ2 moment map $\mu: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ は、equivariant な行列因子化の構造とどのように関係するか？
• RQ3 $G$-equivariant な coherent sheaves と $G$-equivariant な行列因子化の間には、明示的な同値性が存在するか？
• RQ4 この同値性は、再帰的群から任意の線形代数群へ拡張可能か？

主な発見

• $D^b(\operatorname{Coh}^G(\mu^{-1}(0)))$ と $\operatorname{DMF}_G(T^*X \times \mathfrak{g}, W)$ の間には quasi-equivalence が存在し、ここで $W$ は moment map のペアリングである。
• 導来ファイバー $\mu^{-1}(0)$ は、Koszul 型の微分をもつ $G$-equivariant DG-代数 $\Lambda(\mathfrak{g}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$ として実現される。
• もし $X$ 上に $G$-作用が自由であれば、ハミルトニアン還元 $\mu^{-1}(0)/G$ は $T^*(X/G)$ に同型であり、同値性は $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}((T^*X \times \mathfrak{g})/G, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}(T^*(X/G)))$ となる。
• 任意の線形代数群 $H$ に対して、再帰的群 $G$ への埋め込みを用いて同値性を拡張でき、$\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}(E^\vee/H, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}^H(Y))$ が得られる。
• $X = G$, $H = B$ の場合、スプリンガー解体 $\tilde{\mathcal{N}} \simeq T^*(G/B)$ が回復され、$\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}((T^*G \times \mathfrak{b})/B, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}^G(\tilde{\mathcal{N}}))$ が成り立つ。