[論文レビュー] Equivariant nonabelian Poincaré duality and equivariant factorization homology of Thom spectra

Jeremy Hahn, Asaf Horev+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$G$-空間の-equivariant 因子化ホモロジーを写像空間として実現する、同変非アーベルポアンカレ双対性定理を確立し、Thom スペクトルの同変因子化ホモロジーの計算を可能にする。$MU_{\mathbb{R}}$、$H\underline{\mathbb{F}}_2$、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$、および $H\underline{\mathbb{Z}}$ のReal topological Hochschild homology (THR) を計算し、$ \operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ が $RO(C_2)$-次数における $H\underline{\mathbb{Z}}$ とシフトされた $H\underline{\mathbb{Z}/k}$-加群の直和に分解されることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we study genuine equivariant factorization homology and its interaction with equivariant Thom spectra, which we construct using the language of parametrized higher category theory. We describe the genuine equivariant factorization homology of Thom spectra, and use this description to compute several examples of interest. A key ingredient for our computations is an equivariant nonabelian Poincaré duality theorem, in which we prove that factorization homology with coefficients in a $G$-space is given by a mapping space. We compute the Real topological Hochschild homology ($THR$) of the Real bordism spectrum $MU_\mathbb{R}$ and of the equivariant Eilenberg--MacLane spectra $H\underline{\mathbb{F}}_2$ and $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$, as well as factorization homology of the sphere $S^{2σ}$ with coefficients in these Eilenberg--MacLane spectra. In Appendix B, Jeremy Hahn and Dylan Wilson compute $THR(H\underline{\mathbb{Z}})$.

研究の動機と目的

• パラメータ付き高次圏論を用いて真の同変因子化ホモロジーの枠組みを構築すること。
• 因子化ホモロジーと写像空間を同定する同変非アーベルポアンカレ双対性定理を確立すること。
• 特に $MU_{\mathbb{R}}$、$H\underline{\mathbb{F}}_2$、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$、$H\underline{\mathbb{Z}}$ を含む主要な同変スプライトスペクトルのReal topological Hochschild homology (THR) を計算すること。
• パラメータ付き $ \infty$-圏的枠組みにおける $G$-Thom スプライトスペクトル関手を用いて、同変Thom スプライトスペクトルと因子化ホモロジーの関係を記述すること。

提案手法

• $V$-フレームド $G$-多様体に対するホモロジー理論として、パラメータ付き高次圏論を用いて真の同変因子化ホモロジーを定義する。
• 同変アティヤ双対性と同変ポアンカレ双対性を適用し、$G$-空間係数の因子化ホモロジーが写像空間によって与えられることを証明する。
• パラメータ付き $\infty$-圏における余極限として同変Thom スプライトスペクトル関手を構成し、アンドー＝ブルーマン＝ゲプナー＝ホプリン＝レーツのモデルを一般化する。
• $G$-対称モノイド構造とデイ畳み込みを用いて、$\mathbb{E}_V$-代数と $V$-重ループ空間を扱う。
• ジェイムズ分解と $RO(G)$-次数ホモトピー計算を用いて、$\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 及びその局所化を分析する。
• $2$-局所化と有理化を含むプルバック正方形に依存し、$\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ を $RO(C_2)$-次数における和に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ付き高次圏論を用いて、$G$-多様体に対する同変因子化ホモロジーを公理化し、計算することは可能か？
• RQ2 同変設定において、同変因子化ホモロジーと写像空間の正確な関係は何か？
• RQ3 $\operatorname{THR}(MU_{\mathbb{R}})$、$\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{F}}_2)$、および $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)})$ の明示的計算は何か？
• RQ4 $G$-Thom スプライトスペクトル関手は因子化ホモロジーとどのように作用し、その構造的性質は何か？
• RQ5 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ の $RO(C_2)$-次数分解は何か？

主な発見

• $H\underline{\mathbb{Z}}$ のReal topological Hochschild homology は、$RO(C_2)$-次数における $H\underline{\mathbb{Z}}$ とシフトされた $H\underline{\mathbb{Z}/k}$-加群の直和として計算される。
• $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ の $2$-局所化は、$\Sigma^{k\rho}H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$-加群の直和間の写像のファイバーとして特定される。
• $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ の計算は、$H\underline{\mathbb{Z}}[1/2]$、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$、および $H\underline{\mathbb{Q}}$ を含むプルバック正方形に分解され、各成分に明示的な和が存在する。
• $H\underline{\mathbb{F}}_2$ の $\operatorname{THR}$ は同一の枠組みを用いて計算され、その結果は $RO(C_2)$-次数における和のパターンに適合する。
• $MU_{\mathbb{R}}$ の $\operatorname{THR}$ は、同変非アーベルポアンカレ双対性および $C_2$-同変Thom スプライトスペクトルの構造を用いて計算される。
• $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$ の $\operatorname{THR}$ は、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)} \otimes \Sigma^\infty_+ \Omega^\sigma S^{\lambda+1}\langle\lambda+1\rangle$ に同値であり、$\Sigma^{k\rho}H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$-和の間の写像のファイバーとして計算される。