[論文レビュー] Equivariant resolution of singularities in characteristic 0

Dan Abramovich, Jianhua Wang|ArXiv.org|Sep 16, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、特徴量 0 における同変特異点解消の新しい証明を、トーリック幾何と群作用を用いて提示する。標準的解消の存在と、重心分割および順序関数を用いた G-同変トーリック的解消を組み合わせることで、特異点を解消しつつ正則交叉除算子を保ち、有限群作用に対して正規化可能で、射影的な解消を得る G-同変変形を構成する。

ABSTRACT

A new proof of equivariant resolution of singularities under a finite group action in characteristic 0 is provided. We assume we know how to resolve singularities without group action. We first prove equivariant resolution of toroidal singularities. Then we reduce the general case to the toroidal case.

研究の動機と目的

• 特徴量 0 における Hironaka の同変特異点解消定理の、トーリック的手法を用いた新しい証明を提供すること。
• 有限群作用が作用する厳密トーリック埋め込みに対して、G-同変トーリック的解消の存在を確立すること。
• 特異点集合の逆像が G-厳密な正則交叉除算子となるような、G-同変かつ射影的な多様体の変形を構成すること。
• トーリック埋め込みの理論を同変設定に拡張し、G-作用がトーリック埋め込みに誘導する良好な商と分割が存在することを証明すること。

提案手法

• 厳密トーリック埋め込みに関連する錐的多面体複体の重心分割を用い、単体的かつインデックス 1 の錐を保証すること。
• 商複体 $B(\Delta)/G$ からの正の順序関数を引き上げることで、重心分割上の G-同変順序関数を構成すること。
• 文献 [KKMS] の定理 1.1 を適用し、順序関数に一貫した理想層を関連付け、正規化された吹き上げを誘導すること。
• 得られる吹き上げが非特異的かつ G-厳密であり、G が得られた多様体上でトーリック的に作用することを証明すること。
• 商空間 $X/G$ を用いて問題を商空間における特異点解消に還元し、その後正規化により元に戻すこと。
• G-厳密性およびトーリック的作用が、商および吹き上げ操作の下で保存されることを活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴量 0 における同変特異点解消は、トーリック幾何と群作用を用いて達成可能か？
• RQ2 有限群が厳密トーリック埋め込みに作用する場合、G-同変トーリック的解消は存在するか？
• RQ3 特異点集合の逆像が G-厳密な正則交叉除算子であるような、G-同変かつ射影的な変形を構成可能か？
• RQ4 有限群作用の下で G-同変トーリック埋め込みの商は、依然として厳密トーリック埋め込みか？

主な発見

• 特異点集合の還元版の逆像が G-厳密な正則交叉除算子であるような、G-同変かつ射影的な変形 $X_1 \to X$ が存在し、$X_1$ は非特異的である。
• 錐的多面体複体の重心分割上に存在する G-同変順序関数の存在により、非特異的かつ G-厳密なトーリック的吹き上げが保証される。
• G-厳密なトーリック的埋め込みの商 $X/G$ は、依然として厳密トーリック埋め込みであり、有限群作用の下でもトーリック構造が保存される。
• 順序関数に由来する吹き上げを、格子点上の標準座標の辞書的順序による錐の逐次分割によって、正規化可能で射影的な解消を構成する。
• 順序関数に由来する吹き上げは、射影的かつ G-同変であり、得られる多様体は非特異的かつ G-厳密である。