[論文レビュー] Equivelar and d-Covered Triangulations of Surfaces. I

Frank H. Lutz, T. Sulanke+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リングルのネイバーリー系を一般化する二パラメータ族の循環的かつ可定向な三角形分割 $ R_{k,n} $ を導入し、$ q $-等長三角形分割における上界に対して等号を達成する。$ R_{k,7+12k+1} $ および $ R_{k,7+12k+2} $ の部分系列は、最大の $ q = 6+12k $ を達成する非ネイバーリー例を提供し、それらの分割から得られる $ 2q $-被覆三角形分割は、$ \chi(M) \geq -230 $ を満たす曲面において $ d $-被覆の上界に等号を達成する。

ABSTRACT

We survey basic properties and bounds for $q$-equivelar and $d$-covered triangulations of closed surfaces. Included in the survey is a list of the known sources for $q$-equivelar and $d$-covered triangulations. We identify all orientable and non-orientable surfaces $M$ of Euler characteristic $0>χ(M)\geq -230$ which admit non-neighborly $q$-equivelar triangulations with equality in the upper bound $q\leq\Bigl\lfloor frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24χ(M)})\Bigl floor$. These examples give rise to $d$-covered triangulations with equality in the upper bound $d\leq2\Bigl\lfloor frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24χ(M)})\Bigl floor$. A generalization of Ringel's cyclic $7{ m mod}12$ series of neighborly orientable triangulations to a two-parameter family of cyclic orientable triangulations $R_{k,n}$, $k\geq 0$, $n\geq 7+12k$, is the main result of this paper. In particular, the two infinite subseries $R_{k,7+12k+1}$ and $R_{k,7+12k+2}$, $k\geq 1$, provide non-neighborly examples with equality for the upper bound for $q$ as well as derived examples with equality for the upper bound for $d$.

研究の動機と目的

• リングルの循環的ネイバーリー三角形分割を、非ネイバーリーで等長な三角形分割のより広い族に拡張すること。
• 理論的上界 $ q $ に等号を達成する $ q $-等長三角形分割を許容する、$ \chi(M) \geq -230 $ を満たすすべての可定向および非可定向曲面を特定すること。
• これらの $ q $-等長例から $ d $-被覆三角形分割を構成し、$ d $-被覆の上界に等号を達成すること。
• 既知の $ q $-等長および $ d $-被覆三角形分割の出典と上界に関する体系的サーベイを提供すること。
• $ R_{k,n} $ シリーズを用いて、可定向曲面の頂点最小で頂点推移的三角形分割を確立すること。

提案手法

• リングルの循環的ネイバーリー三角形分割 $ R_{k,7+12k} $ を、$ n \geq 7+12k $、$ k \geq 0 $ の範囲で二パラメータ族 $ R_{k,n} $ に一般化し、生成三角形に対する巡回群作用を用いる。
• 固定された $ 2+4k $ 個の生成三角形を $ \mathbb{Z}_n $-作用の下で定義し、$ n = 7+12k $ 時に頂点 0 のリンク構造を保つ。
• リングルの規則 $ R^* $ を用いて、頂点スターオリエンテーションの整合性を示し、$ n \geq 7+12k $ 時に巡回シフトの下で成立することを証明することで、可定向性を示す。
• 恒等式 $ \chi(M) = -2kn $ を用いてオイラー標数を計算し、$ f $-ベクトル $ (n, 3(1+2k)n, 2(1+2k)n) $ を得ることで、$ q $-等長型 $ \{3,6+12k\} $ を確認する。
• 頂点分割を $ q $-等長三角形分割に適用し、$ 2q $-被覆三角形分割を生成し、$ d $-被覆上界に等号を継承する。
• $ R_{k,7+12k+1} $ および $ R_{k,7+12k+2} $ が $ q = \lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ を達成することを証明し、上界に等号を達成することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの可定向および非可定向曲面（$ \chi(M) \geq -230 $）が、理論的上界 $ q \leq \lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ を達成する $ q $-等長三角形分割を許容するか？
• RQ2 リングルの循環的ネイバーリー系列を、依然として $ q $-等長上界に等号を達成する非ネイバーリー例に一般化できるか？
• RQ3 得られた $ q $-等長三角形分割から、$ d $-被覆上界 $ d \leq 2\lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ に等号を達成する $ d $-被覆三角形分割が得られるか？
• RQ4 頂点最小で頂点推移的な可定向曲面の三角形分割が $ \chi(M) = -2kn $ を満たすものとして存在し、それらが一般化された $ R_{k,n} $ 家族から生じるか？
• RQ5 どの条件下で、$ n \geq 7+12k $ の一般化された $ R_{k,n} $ 三角形分割が可定向となるか？

主な発見

• $ k \geq 0 $、$ n \geq 7+12k $ の下で、一般化されたリングル系列 $ R_{k,n} $ は、 genus $ g = kn + 1 $ の二パラメータ族の循環的かつ可定向三角形分割を形成し、$ f $-ベクトルは $ (n, 3(1+2k)n, 2(1+2k)n) $ である。
• 部分系列 $ R_{k,7+12k+1} $ および $ R_{k,7+12k+2} $（$ k \geq 1 $）は、上界 $ q \leq \lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ に等号を達成し、非ネイバーリーな $ q $-等長三角形分割を提供する。
• これらの $ R_{k,7+12k+1} $ および $ R_{k,7+12k+2} $ の例は、$ 2q $-被覆三角形分割を生成し、上界 $ d \leq 2\lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ に等号を達成する。
• $ k \geq 1 $ のとき、三角形分割 $ R_{k,7+12k+1} $ は、$ \chi = -2kn $ を満たす可定向曲面において頂点最小である。これはヘーウッドの下限に等号を達成するためである。
• $ n \geq 7+12k $ のとき、$ R_{k,n} $ の可定向性は、巡回的対称性の下で頂点スターオリエンテーションの整合性により保証され、リングルの規則 $ R^* $ を用いて検証される。
• 構成により、$ q = 6+12k $、$ k \geq 1 $ の場合に、定理的最適値 $ q $ を達成する $ q $-等長三角形分割の具体的例を提供することにより、Conjecture 8 が確認される。