[論文レビュー] Erdős-Szekeres theorem for multidimensional arrays

Matija Bucić, Benny Sudakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、多変数のErdős-Szekeres問題に対する著しく改善された上界を確立し、$ d \geq 4 $ の場合、$ d $ 次元配列の最小サイズ $ M_d(n) $ が、$ n $ の三重指数関数的であることを証明している。また、lex-単調なバージョンでは四重指数関数的である。これらの結果は、FishburnとGrahamが反復的応用によるErdős-Szekeres定理とRamsey理論的議論を用いて得た、アッカーマン型の上界を改善している。

ABSTRACT

The classical Erdős-Szekeres theorem dating back almost a hundred years states that any sequence of $(n-1)^2+1$ distinct real numbers contains a monotone subsequence of length $n$. This theorem has been generalised to higher dimensions in a variety of ways but perhaps the most natural one was proposed by Fishburn and Graham more than 25 years ago. They defined the concept of a monotone and a lex-monotone array and asked how large an array one needs in order to be able to find a monotone or a lex-monotone subarray of size $n imes \ldots imes n$. Fishburn and Graham obtained Ackerman-type bounds in both cases. We significantly improve these results. Regardless of the dimension we obtain at most a triple exponential bound in $n$ in the monotone case and a quadruple exponential one in the lex-monotone case.

研究の動機と目的

• 単調な $ n \times \cdots \times n $ 部分配列を保証する最小配列サイズ $ M_d(n) $ の tighter な上界を求める事で、多変数Erdős-Szekeres問題を解明すること。
• FishburnとGrahamの定義に従い、単調およびlex-単調配列を用いて、古典的なErdős-Szekeres定理を高次元に拡張すること。
• FishburnとGrahamが以前に得た、単調およびlex-単調配列問題の両方に対してアッカーマン型の上界を著しく改善すること。
• 問題を順序付きRamsey理論とエッジ彩色の枠組みに結びつけることにより、離散構造における極値組合せ論の新しい視点を提供すること。

提案手法

• 2次元配列における行と列の制限から誘導される順列に、古典的なErdős-Szekeres定理を反復的に適用する。
• 2次元の単調部分配列問題を、サイズ $ N^{1-o(1)} $ の $ (\log N)^{1-o(1)} $ 個の順列の共通の単調部分列を見つける問題に還元する。
• 配列を3部グラフのエッジ彩色に結びつけるRamsey理論的枠組みを用い、行と列における単調性制約をモデル化する。
• 行と列における単調性をエンコードするため、頂点順序付きハイパーグラフモデル $ K^{(3)}_{N,N} $ を導入し、問題を順序付きRamsey数に関連付ける。
• lex-単調配列問題と離散構造の標準的順序付けとの関係を明らかにし、特に組合せ的立方体 $[k]^n$ を対象とする。
• 順列統計と極値組合せ論を活用し、大きな単調またはlex-単調部分配列を避ける配列のサイズを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調な $ n \times \cdots \times n $ 部分配列を保証する $ d $ 次元配列の最小サイズ $ M_d(n) $ のタイトな上界は何か？
• RQ2 lex-単調な $ n \times \cdots \times n $ 部分配列を保証する最小サイズ $ L_d(n) $ の成長率は、$ M_d(n) $ と比べてどの程度か？
• RQ3 FishburnとGrahamが以前に得たアッカーマン型の上界は、単調およびlex-単調両方のケースで著しく改善可能か？
• RQ4 多変数Erdős-Szekeres問題は、どの程度まで順序付きRamsey理論の文脈に組み込むことができるか？
• RQ5 長さ $ n $ の共通の単調部分列を保証するためには、何個の順列が必要か？その極値的境界は何か？

主な発見

• 2次元の場合、$ M_2(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n}} $ が確立され、以前のアッカーマン型の上界を著しく改善している。
• 3次元の場合、$ M_3(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n^2}} $ であり、二重指数関数の指数に二次関数的要因が現れている。
• 4次元以上の場合、$ M_d(n) \leq 2^{2^{2^{O_d(n^{d-1})}}} $ であり、$ n $ の三重指数関数的である。この指数は $ d $ に依存する。
• lex-単調の場合、四重指数関数的上界 $ L_d(n) \leq 2^{2^{2^{2^{O_d(n^{d-1})}}}} $ を達成しており、以前の結果を改善している。
• 著者らは $ M_2(n) \leq \text{OR}(n) $ を示しており、ここで $ \text{OR}(n) $ は3部ハイパーグラフの順序付きRamsey数であり、$ \text{OR}(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n}} $ を証明している。
• これらの結果は、多変数Erdős-Szekeres問題が離散構造の標準的順序付けおよびエッジ順序付きRamsey理論と深く関係していることを示唆している。