[論文レビュー] Ergodic measures of intermediate entropies for dynamical systems with the approximate product property

Peng Sun|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、近似的にエントロピー拡張的で、近似的な積構造を持つ系について、中間エントロピーおよび中間圧力を持つエルゴディック測度が、不変測度の特定の部分空間において一般的であることを確立している。この結果により、より広い滑らかな系のクラスに対してカトックの予想を裏付けるものであり、不変測度空間の精密な構造を明らかにし、エントロピー密度および類似仕様性に関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

For a dynamical system satisfying the approximate product property and asymptotically entropy expansiveness, we characterize a delicate structrue of the space of invariant measures: The ergodic measures of intermediate entropies and intermediate pressures are generic in certain subspaces. This proves a conjecture of Katok for a broad class of systems and extends a sequence of known results.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の$C^2$微分同相写像に対して、任意の中間的測度的エントロピーを持つエルゴディック測度の存在に関するカトックの予想を解決すること。
• 普遍性よりも弱い類似仕様性の条件下で、不変測度空間の微細構造を特徴付けること。
• 近似的な積構造および漸近的エントロピー拡張性を満たす系に対して、エントロピー密度および圧力の一般性に関する既知の結果を拡張すること。
• 完全仕様性や弱仕様性を満たさないが、滑らかな系の広いクラスにおいて中間エントロピー性が成立することを示すこと。
• 近似的な積構造と普遍性の関係を明確にし、前者が後者を含意しないことを示すこと。

提案手法

• 不変測度の構造を分析するために、'ほぼエントロピー近似可能'および'エントロピー近似可能'測度の概念を導入・適用する。
• 近似的な積構造を用いて、制御されたエントロピーを持つ不変コンパクト集合を構成し、目的の測度の近似を可能にする。
• 漸近的エントロピー拡張性の概念を適用し、不変測度空間上でのエントロピー関数の連続性と安定性を保証する。
• ピフェスタとサリヴァンによる漸近加法的ポテンシャルおよび圧力に関する結果を活用し、部分空間における圧力の一般性を分析する。
• グラーフィングオービット性質や不変集合の構成といった位相的力学の道具を用いて、必要な近似条件を検証する。
• ポウレン・スミプレックス理論および残渣集合の理論を用い、中間エントロピーを持つエルゴディック測度が適切な部分集合で一般的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似的な積構造および漸近的エントロピー拡張性を満たす任意の系は、$[0, h(f))$内に任意の中間エントロピーを持つエルゴディック測度を有するか？
• RQ2 不変測度空間が、中間エントロピーを持つエルゴディック測度が残渣的となる部分空間に分解可能か？
• RQ3 中間エントロピー性は普遍性よりも厳密に弱く、近似的な積構造のもとで成立するか？
• RQ4 近似的な積構造を満たす系において、中間圧力の一般性は確立可能か？
• RQ5 近似的な積構造と、任意の中間エントロピーを持つ不変測度の存在との関係は何か？

主な発見

• 近似的な積構造および漸近的エントロピー拡張性を満たす任意の系に対して、エントロピーが$[0, h(f))$に属するエルゴディック測度の集合は、エントロピーが$h(f)$未満である不変測度の部分空間において一般的である。
• 本稿では、中間エントロピーを持つエルゴディック測度が特定の部分空間で一般的であることを証明し、不変測度空間の精密な構造を確立している。
• この結果により、$C^2$微分同相写像で近似的な積構造および漸近的エントロピー拡張性を満たす広いクラスの系に対してカトックの予想が裏付けられている。
• 無理数回転とフルシフトの積として構成された系$(X,f)$は、普遍性を満たさないが、定理の条件を満たしており、その例として有効である。
• 本稿では、近似的な積構造が普遍性を含意しない反例を提供しており、中間エントロピー性と普遍性の違いを明確にしている。
• 一部の系では、圧力の下限値において圧力の一般性が成立しないことが示されており、一般性の結果が追加仮定なしに全圧力範囲に拡張されないことを示唆している。