[論文レビュー] Topological and almost Borel Universality for systems with the weak specification property

David Burguet|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、上位の位相的エントロピーが厳密に小さい任意の拡張的で非周期的かつ零次元の位相的系へ、弱仕様性を持つ位相的系が普遍的に埋め込み可能であることを確立する。さらに、ほぼ弱仕様性を持つ系は、上位のボレルエントロピーが厳密に小さい任意の非周期的ボレル系に対してほぼボレル普遍的であることが示され、符号的力学系およびエルゴディック理論における先行の普遍性結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that systems with some specification properties are topologically or almost Borel universal, in the sense that any aperiodic subshift with lower entropy may be topologically or almost Borel embedded.

研究の動機と目的

• 上位の位相的エントロピーが厳密に小さい拡張的で非周期的かつ零次元の系に対して、弱仕様性を持つ系の位相的普遍性を確立すること。
• ほぼ弱仕様性を持つ系に対して、ほぼボレル普遍性を示すことで、ボレル設定への普遍性結果を拡張すること。
• マルチスケール逆極限構成と許容可能な仕様を組み込むことにより、従来の全普遍性および厳密普遍性に関する結果を一般化すること。
• 埋め込みが完全に普遍的である可能性を検討すること、すなわち、埋め込まれた系の不変測度が、対象系において全サポートを持つようにすること。
• エントロピー制約付き埋め込みの文脈において、位相的普遍性とほぼボレル普遍性の違いを明確にすること。

提案手法

• 階層的でマルチスケールな手法を用いて、元の系の仕様から許容可能な逆極限系を構成すること。
• シフト写像下での球の分離性と互いに素性を保証するため、$(\nu_k, \nu_k')$-許容可能な仕様を定義すること。
• ほぼ弱仕様性を用いて、有限な軌道断片が制御された遅延の後で単一の軌道によって$ε$-近似可能であることを保証すること。
• 一般点$z$の正の軌道が稠密であることを保証するため、長さ$m_k \gg r_k$のマーカー語を導入すること。
• 変動原理を適用してボレルエントロピーと位相的エントロピーを関連づけ、写像の押し出し測度の全サポートを保証すること。
• 逆極限系が、極限のボレルエントロピーより小さいボレルエントロピーを持つ系に対してほぼボレル普遍的であることを証明し、その後、それを元の系に埋め込むこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱仕様性を持つ系は、上位の位相的エントロピーが厳密に小さい拡張的で非周期的かつ零次元の系を普遍的に埋め込むことができるか？
• RQ2 ほぼ弱仕様性は、上位のボレルエントロピーが厳密に小さい任意の非周期的ボレル系に対して、ほぼボレル普遍性を保証するのに十分か？
• RQ3 埋め込みを完全に普遍的に行うことは可能か？すなわち、埋め込まれた系のすべての不変測度が、対象系において全サポートを持つようにできるか？
• RQ4 逆極限構成は、仕様性に類似した性質を持つ系の普遍性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 マーカー語および許容可能な仕様の選択は、構成における軌道セグメントの分離性と互いに素性にどのように影響するか？

主な発見

• 弱仕様性を持つ任意のサブシフトは、$χ_{\text{top}} < \mathsf{h_{top}}(S)$-普遍的であり、上位の位相的エントロピーが小さい任意の拡張的で非周期的かつ零次元の系が位相的に埋め込み可能であることを意味する。
• ほぼ弱仕様性を持つ任意の位相的系は、ほぼボレル$χ_{\text{bor}} < \mathsf{h_{top}}(S)$-普遍的であり、Hochmanの結果をより広い系のクラスへ拡張する。
• 仕様から構成された逆極限系は、極限系のボレルエントロピーより小さいボレルエントロピーを持つ系に対してほぼボレル普遍的である。
• 一般点$z$の稠密な正の軌道を構成に組み込むことで、埋め込みによる任意の不変測度の押し出しは全サポートを持つことが保証され、完全なほぼボレル普遍性が確立される。
• 任意の$\epsilon_k > 0$に対して、仕様の許容性および分離性の性質により、半径$\epsilon_k$の球が埋め込みの像に交わられることが保証される。
• 本稿では、ほぼ弱仕様性が、位相的普遍性がエントロピーの不一致により失敗する状況でも、ほぼボレル普遍性を達成するのに十分であることを示している。