[論文レビュー] Ergodic theory of Random Anosov systems mixing on fibers

Wen Huang, Zeng Lian+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、外部の確率的力によって駆動されるファイバーewise Anosov 系において、確率的周期点および確率的ホースシューズの存在を確立し、それらの密度を示し、確率的不変測度および弱い確率的 Livšic 定理と関連付ける。平滑なエルゴディック理論をファイバーewise ハイパーボリック性とファイバー上のトポロジカル ミキシングを有する確率的力学系へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study the complicated dynamics of Anosov systems driven by an external force in the context of geometric theory (an abundance of random periodic points and random horseshoes) and smooth ergodic theory (random periodic measures and random Liv\v sic Theorem).

研究の動機と目的

• ファイバーewise Anosov 構造を有する確率的力学系における確率的周期点の存在と密度を調査すること。
• ファイバー上のトポロジカル ミキシングを有する系において、測度的セクション上の分離関数を用いて確率的ホースシューズの存在を確立すること。
• このような系において、周期的確率的不変測度が不変測度の空間において稠密であることを証明すること。
• ファイバーewise ハイパーボリック性を有する基底力学系上のコサイクルに対して、弱い形の確率的 Livšic 定理を構築すること。
• 確率的ハイパーボリシティの幾何的構造とエントロピー、SRB 測度などのエルゴディック不変量との関係を明らかにすること。

提案手法

• 基底変換 $ \theta: \Omega \to \Omega $ 上のコサイクル $ F(n,\omega,x) $ として確率的力学系を定義し、コンパクトなリーマン多様体 $ M $ 上で作用するファイバー写像 $ f_\omega $ を含む。
• 連続的かつ $ Df_\omega $-不変な分解 $ T_xM_\omega = E^u \oplus E^s $ を用いて、ファイバー上でアンソフの性質を定義し、一様な指数的拡大・収縮を満たす。
• ファイバー上のトポロジカル ミキシング条件を導入：任意の開集合 $ U,V \subset M $ に対して、ある $ N $ が存在し、すべての $ n \geq N $ に対して $ \phi^n(U \times \{\omega\}) \cap V \times \{\theta^n\omega\} \neq \emptyset $ が成り立つ。
• 可測セクション $ g_i \in L^\infty(\Omega,M) $ を、$ \tilde{\phi}(g_i) = g_{i+1 \mod n} $ を満たすものとして確率的周期点を定義する。ここで $ \tilde{\phi} $ はセクション上への誘導写像である。
• 分離関数 $ \underline{d}_{L^\infty} $ および $ \overline{d}_{L^\infty} $ を用いて確率的ホースシューズを構成し、ランダムな有限型符号的シフト $ \Sigma_A $ に同相な部分系を特定する。
• 可測選択定理（定理 B.1）を適用して、可測不変セクションの存在を保証し、記号的力学系への同相写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバー上でトポロジカル ミキシングを有するファイバーewise Anosov 系において、確率的周期点は存在するか？また、可測セクションの空間において稠密か？
• RQ2 このような系において確率的ホースシューズを構成可能か？また、その位相的および測度論的構造は何か？
• RQ3 これらの系において、周期的確率的不変測度はすべての不変測度の空間において稠密か？
• RQ4 ファイバーewise Anosov 系の文脈において、コボラティオ方程式に対して弱い形の確率的 Livšic 定理が成り立つか？
• RQ5 ファイバーewise ハイパーボリシティおよびミキシングの幾何的性質は、エントロピーおよび SRB 測度などのエルゴディック不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 確率的周期点は $ L^\infty $-ノルムに関して $ L^\infty(\Omega,M) $ の空間において稠密であり、確率的系に豊富な周期的構造が存在することを示唆する。
• 確率的ホースシューズは存在し、ランダムな有限型符号的シフト $ \Sigma_A $ に同相であり、可測選択およびマルコフ分割を用いて同相写像が構成される。
• 周期的確率的不変測度は、すべての $ F $-不変確率測度の空間において稠密であり、不変測度が周期的測度によって近似可能であることを保証する。
• 弱い形の確率的 Livšic 定理が確立された：ランダムな Hölder 継続関数 $ \varphi $ がコボラティオ条件 $ \varphi = h \circ \tilde{\phi} - h $ を満たすならば、ボーネィの性質および仕様条件のもとで $ \varphi \equiv 0 $ が成り立つ。
• 系は、最大エントロピーおよび不安定多様体上の条件付き測度の絶対連続性によって特徴づけられる、一意なランダムな Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) 測度 $ \nu $ を有し、これはランダムな吸引子 $ \Lambda $ に台を持つ。
• SRB 測度 $ \nu $ は弱収束として $ \nu_\omega = \lim_{n \to \infty} F(n, \theta^{-n}\omega) m_{\theta^{-n}\omega} $ として表され、絶対連続初期測度に対して統計的安定性が確認される。