[論文レビュー] Ergodicity of group actions and spectral gap, applications to random walks and Markov shifts

Jean-Pierre Conze, Yves Guivarc’h|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、特にネイルマンフォールド、同調空間、および運動群を含む力学系の群拡張に関連するマルコフ作用素のスペクトルギャップ性質を確立する。エルゴディシティおよび群の性質(T)または密度条件の下でスペクトルギャップを証明することで、非コンパクトな拡張における強いエルゴディシティ、再帰性／非再帰性の結果、および局所極限定理を導出し、古典的なランダムウォーク理論を構造的な代数的設定へと拡張する。

ABSTRACT

Let $(X, \\cal B, \ u)$ be a probability space and let $\\Gamma$ be a countable group of $\ u$-preserving invertible maps of $X$ into itself. To a probability measure $\\mu$ on $\\Gamma$ corresponds a random walk on $X$ with Markov operator $P$ given by $P\\psi(x) = \\sum_{a} \\psi(ax) \\, \\mu(a)$. A powerful tool is the spectral gap property for the operator $P$ when it holds. We consider various examples of ergodic $\\Gamma$-actions and random walks and their extensions by a vector space: groups of automorphisms or affine transformations on compact nilmanifolds, random walk in random scenery on non amenable groups, translations on homogeneous spaces of simple Lie groups, random walks on motion groups. The spectral gap property is applied to obtain limit theorems, recurrence/transience property and ergodicity for random walks on non compact extensions of the corresponding dynamical systems.

研究の動機と目的

• コンパクトなネイルマンフォールドおよび同調空間における群作用に関するマルコフ作用素のスペクトルギャップ性質を確立すること。
• スペクトルギャップを用いて、力学系の非コンパクトな拡張へのエルゴディシティおよび再帰性の結果を拡張すること。
• 群拡張上のランダムウォークモデルにおける局所極限定理および軌道の等分布性の有効性を調査すること。
• 一般化されたマルコフモデルにおける不変方程式 $ \tilde{\mu}*f = f $ の有界解を分析すること。
• 積測度の代わりに状態依存遷移確率 $ \mu(x,a) $ やギブス測度を用いたマルコフモデルへ、古典的ランダムウォーク結果を一般化すること。

提案手法

• スペクトルギャップ性質は、測度 $ \nu $ に関する $ L_0^2(X,\nu) $ へのマルコフ作用素 $ P $ の制限 $ \Pi_0 $ のスペクトル半径 $ r(\Pi_0) < 1 $ を通じて定義され、強いエルゴディシティを保証する。
• 本稿では、ユニタリ表現と恒等表現の弱包含の特徴づけを用いて $ r(\Pi_0) < 1 $ が成り立つ条件を特定し、これと性質(T)または群作用の密度性を関連付ける。
• ネイルマンフォールドでは、群構造と不変測度を介して、マルコフ作用素のエルゴディシティが最大トーラス商への作用のエルゴディシティに還元される。
• 単純なリー群の同調空間では、$ SU(d) $ の作用と $ \Gamma \subset SU(d) $ の密度性を用いてスペクトルギャップを確立し、アフィン拡張に対してコサイクル解析を行う。
• 本稿では、平行移動の $ L^2 $-連続性と可測コサイクル恒等式を用いて、特性の不変性および自明性を証明し、これによりスペクトルギャップを導出する。
• ランダムスナップショウおよび運動群におけるランダムウォークでは、非コンパクトな拡張に一般化するため、スペクトルギャップを用いて極限定理および軌道の挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな拡張を伴う $ \mathbb{Z}^m $（$ m \geq 3 $）上のランダムスナップショウにおける局所極限定理は成り立つか？
• RQ2 $ \Gamma \subset SU(d) $ が稠密で $ d \geq 2 $ のとき、運動群 $ SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 上の局所極限定理は有効か？
• RQ3 非コンパクトな拡張において、ベクトル空間 $ V $ 上の $ \tilde{\Gamma} $-軌道の等分布性の挙動はいかなるものか？
• RQ4 $ f \in L^\infty(\nu \otimes \ell) $ のもとで、$ G = SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 上の不変方程式 $ \tilde{\mu}*f = f $ の有界解は何か？
• RQ5 スペクトルギャップの結果は、積測度の代わりに状態依存遷移確率 $ \mu(x,a) $ またはギブス測度を用いたマルコフモデルへ拡張可能か？

主な発見

• スペクトルギャップ性質は強いエルゴディシティを意味し、$ \Gamma $ が $ L_0^2(X,\nu) $ 上のユニタリ表現において恒等表現の弱包含をしないことと同値である。
• ネイルマンフォールドでは、適切な群作用の下で、マルコフ作用素 $ P $ のエルゴディシティは最大トーラス商への作用のエルゴディシティに帰着される。
• $ \Gamma \subset SU(d) $ が稠密で性質(T)を持つ場合、アフィン拡張 $ \tilde{\Gamma} \subset SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ は $ \tilde{\Gamma} \cap \mathbb{C}^d $ が $ \mathbb{C}^d $ で稠密であることを満たし、これによりスペクトルギャップが保証される。
• 自由群 $ \Gamma $ の場合、$ \tilde{\Gamma} \cap \mathbb{C}^d = \{0\} $ であるが、$ \tilde{\Gamma} $ は $ G $ で稠密のまま保たれ、スペクトルギャップおよびエルゴディシティが維持される。
• スペクトルギャップは、非コンパクトな拡張におけるランダムウォークの再帰性／非再帰性の結果を導き、収束速度はスペクトルギャップの大きさに依存する。
• スペクトルギャップが存在する場合、群作用および $ \mu $ の台の条件のもとで、$ \mathbb{Z}^m $-拡張上のランダムウォークにおける局所極限定理が成り立つ。