[論文レビュー] On the spectral theory of groups of affine transformations of compact nilmanifolds

Bachir Bekka, Yves Guivarc’h|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

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ひとこと要約

本稿は、コンパクトなニルマンフォールド上のアフィン変換の可算部分群に対して、スペクトルギャップの基準を確立する。この作用がスペクトルギャップを持つための必要十分条件は、最大トーラス因子 $ T $ の部分トーラス $ S $ で、$ H $-不変かつ $ \mathrm{Aut}(T/S) $ への $ H $ の射影が有限指数のアーベル部分群を持つような真の部分トーラス $ S $ が存在しないことである。この結果は、スペクトルギャップを強いエルゴード性と結びつけ、作用のエルゴード性および強い混合性がトーラス因子上の作用の性質に帰着されることを示している。

ABSTRACT

Let $N$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group, $\\Lambda$ a lattice in $N$, and $X=N/\\Lambda$ the corresponding nilmanifold. Let $Aff(X)$ be the group of affine transformations of $X$. We characterize the countable subgroups $H$ of $Aff(X)$ for which the action of $H$ on $X$ has a spectral gap, that is, such that the associated unitary representation $U$ of $H$ on the space of functions from $L^2(X)$ with zero mean does not weakly contain the trivial representation. Denote by $T$ the maximal torus factor associated to $X$. We show that the action of $H$ on $X$ has a spectral gap if and only if there exists no proper $H$-invariant subtorus $S$ of $T$ such that the projection of $H$ on $Aut (T/S)$ has an abelian subgroup of finite index. We first establish the result in the case where $X$ is a torus. In the case of a general nilmanifold, we study the asymptotic behaviour of matrix coefficients of $U$ using decay properties of metaplectic representations of symplectic groups. The result shows that the existence of a spectral gap for subgroups of $Aff(X)$ is equivalent to strong ergodicity in the sense of K.Schmidt. Moreover, we show that the action of $H$ on $X$ is ergodic (or strongly mixing) if and only if the corresponding action of $H$ on $T$ is ergodic (or strongly mixing).

研究の動機と目的

• コンパクトなニルマンフォールド上での作用において、スペクトルギャップを示す可算部分群 $ H $ を特徴づけること。
• 最大トーラス因子 $ T $ の構造に基づいた、明確な動的条件を確立し、$ H $ の作用がスペクトルギャップを持つかどうかを決定すること。
• K. Schmidtの意味での強いエルゴード性とスペクトルギャップの性質を結びつけ、既知のトーラス系の結果をニルマンフォールドへ拡張すること。
• ニルマンフォールド $ \Lambda\backslash N $ における $ H $ のエルゴード性および強い混合性が、最大トーラス因子 $ T $ における作用の同じ性質と同値であることを証明すること。

提案手法

• 最大トーラス因子 $ T $ の構造を用いて、$ \Lambda\backslash N $ がトーラスである場合に還元すること。
• シンプレクティック群のメタプレクティック表現を用いて、$ L^2_0(\Lambda\backslash N) $ 上のユニタリ表現 $ U^0 $ の行列係数の減衰を分析すること。
• スペクトル半径基準の適用：可逆な測度 $ \mu $ に対して $ r(U^0(\mu)) < 1 $ が成り立つこととスペクトルギャップが同値である。
• 最大トーラス因子 $ T $ における作用の分析、特に部分トーラス $ S $ に対する $ H $ の $ \mathrm{Aut}(T/S) $ への射影の分析。
• $ H $-不変な部分トーラス $ S $ で、$ \mathrm{Aut}(T/S) $ がアーベル的であるようなものがあると、ほとんど不変なベクトルが生じ、スペクトルギャップを妨げる。
• ノンアーベルリー群および格子の構造を活用し、問題を有限指数部分群への還元および商空間上のコンパクトネスの議論に帰着すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算部分群 $ H \leq \mathrm{Aff}(\Lambda\backslash N) $ がコンパクトなニルマンフォールド $ \Lambda\backslash N $ に作用するとき、いつスペクトルギャップを持つのか？
• RQ2 ニルマンフォールド $ \Lambda\backslash N $ の最大トーラス因子 $ T $ における $ H $ の作用に関して、スペクトルギャップの存在に同値な動的条件は何か？
• RQ3 スペクトルギャップの性質は、ニルマンフォールド作用の文脈において、強いエルゴード性および強い混合性とどのように関係しているか？
• RQ4 ニルマンフォールド上での $ H $ のエルゴード性または強い混合性が、$ T $ における作用の同じ性質に還元されるのはどのような条件下か？
• RQ5 行列係数の減衰およびメタプレクティック表現理論は、スペクトルギャップを確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 可算部分群 $ H \leq \mathrm{Aff}(\Lambda\backslash N) $ の作用がスペクトルギャップを持つための必要十分条件は、$ T $ の真の $ H $-不変部分トーラス $ S \subset T $ が存在せず、かつ $ H $ の $ \mathrm{Aut}(T/S) $ への射影が有限指数のアーベル部分群を持つことである。
• スペクトルギャップは、K. Schmidtの意味での強いエルゴード性と同値であり、ニルマンフォールド系におけるこの性質の動的特徴づけを提供する。
• $ H $ が $ \Lambda\backslash N $ でエルゴード的であることは、$ H $ が最大トーラス因子 $ T $ に作用するときエルゴード的であることと同値である。
• $ H $ が $ \Lambda\backslash N $ で強く混合的であることは、$ H $ が $ T $ に作用するとき強く混合的であることと同値である。
• $ L^2_0(\Lambda\backslash N) $ 上のユニタリ表現 $ U^0 $ の行列係数が $ c_0(H) $ に属するための必要十分条件は、同じ条件下でトーラス因子 $ T $ 上の対応する行列係数が $ c_0(H) $ に属することである。
• 証明は、メタプレクティック表現による行列係数の減衰と、商空間上のコンパクトネスの議論に依拠しており、$ H $ がスペクトルギャップを持つとき $ R/\Delta $ が有限であることを示している。