[論文レビュー] Ergodicity of stochastic real Ginzburg-Landau equation driven by $\alpha$-stable noises

Lihu Xu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\alpha \in (3/2, 2)$ である加法的 $\alpha$-安定 Lévy ノイズによって駆動される確率的実 Ginzburg-Landau 方程式に対して、不変測度の存在および一意性を確立する。非リプシッツ非線形性と不連続なパスのため、標準的な非可約性の議論が失敗するが、本稿では、非線形項の切り詰めにおける勾配推定と、確率的 $\alpha$-安定畳み込みに関する新規の最大不等式を用いて、システムが強Fellerかつゼロへ到達可能であることを証明することで、非可約性の必要性を回避する。

ABSTRACT

We study the ergodicity of stochastic real Ginzburg-Landau equation driven by additive $\alpha$-stable noises, showing that as $\alpha \in (3/2,2)$, this stochastic system admits a unique invariant measure. After establishing the existence of invariant measures by the same method as in [9], we prove that the system is strong Feller and accessible to zero. These two properties imply the ergodicity by a simple but useful criterion in [16]. To establish the strong Feller property, we need to truncate the nonlinearity and apply a gradient estimate established in [26] (or see [24]} for a general version for the finite dimension systems). Because the solution has discontinuous trajectories and the nonlinearity is not Lipschitz, we can not solve a control problem to get irreducibility. Alternatively, we use a replacement, i.e., the fact that the system is accessible to zero. In section 3, we establish a maximal inequality for stochastic $\alpha$-stable convolution, which is crucial for studying the well-posedness, strong Feller property and the accessibility of the mild solution. We hope this inequality will also be useful for studying other SPDEs forced by $\alpha$-stable noises.

研究の動機と目的

• 加法的 $\alpha$-安定ノイズによって駆動される確率的実 Ginzburg-Landau 方程式に対して、不変測度の存在および一意性を確立すること。
• 非リプシッツ非線形性と不連続な標本パスのため、標準的な非可約性の議論が失敗する状況において、それを克服すること。
• Lévy ノイズを伴うSPDEに適用可能な主要な技術的道具として、確率的 $\alpha$-安定畳み込みに関する最大不等式を構築すること。
• 非可約性の古典的要件を回避しつつ、強Feller性とゼロへの到達可能性を用いてエルゴード性を証明すること。
• 非ガウス的で裾の重いノイズ過程を伴うSPDEに、エルゴード性基準の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 文献[9]の手法を用いて、Galerkin近似により不変測度の存在を確立する。
• 因数分解法を避けるために、部分積分を用いて導出した、確率的 $\alpha$-安定畳み込みに関する新規の最大不等式を適用する。
• 非線形項 $N(x) = -(x - x^3)$ を切り詰めて、[26]の勾配推定を適用し、強Feller性を証明する。
• パスごとの推定と $P(\sup_{s \leq t} \|Z_s\|_V \leq \epsilon) > 0$ の正の性質を用いて、ゼロへの到達可能性を確立する。
• 文献[16]の基準を用い、強Feller性とある点への到達可能性からエルゴード性が導かれることが示される。
• Sobolev埋め込みとYoungの不等式を用いて、$H$ および $V$-ノルムにおける非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的 $\alpha$-安定ノイズによって駆動される確率的実 Ginzburg-Landau 方程式は、$\alpha \in (3/2, 2)$ に対して一意な不変測度を有するか？
• RQ2 ノイズが非ガウス的であり、非線形項が非リプシッツである場合、非可約性を仮定しないでエルゴード性を確立できるか？
• RQ3 確率的 $\alpha$-安定畳み込みに対して成り立つ最大不等式は何か？ そして、それはどのように $\alpha$-安定ノイズを伴うSPDEの解析に応用できるか？
• RQ4 $\alpha$-安定ノイズを伴う場合、$\alpha \in (3/2, 2)$ に対して、遷移半群は強Fellerか？
• RQ5 Lévy ノイズを伴うSPDEに対して、不変測度の一意性を証明する際、ゼロへの到達可能性は非可約性に代わって利用可能か？

主な発見

• $\alpha \in (3/2, 2)$ の範囲では、確率的実 Ginzburg-Landau 方程式は一意な不変測度を有する。
• システムは強Fellerであり、非線形項の切り詰めにおける勾配推定と、新規の $\alpha$-安定畳み込みに関する最大不等式を用いて証明された。
• パスごとの境界とノイズ項の正の性質 $P(t; x, B_H(\delta)) > 0$ を用いて、ゼロへの到達可能性が確立された。
• 部分積分を用いて導出された、確率的 $\alpha$-安定畳み込みに関する新規の最大不等式が、Da Prato-Kwapień-Zabczyk の因数分解法に代わる手法を提供する。
• 一意な不変測度は空間 $V = D(A^{1/2})$ 上に台を持つため、定常分布の正則性が保証される。
• 制御論的非可約性を避けるために到達可能性を活用することで、Lévy ノイズを伴う非リプシッツSPDEに対するエルゴード性の新たな道筋が提示された。