[論文レビュー] Erratum to the paper: Compact hyperkaehler manifolds: basic results

Daniel Huybrechts|ArXiv.org|Jun 3, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Huybrechtsの以前の研究における誤った証明を、Demailly-Paunの定理を用いて正当な証明に置き換えることで是正する。主な貢献は、コンパクトなハイパーケーラー多様体が、その第一 Chern 類に正の Beauville-Bogomolov 二次形式を持つラインバンドを備えるとき、かつそのときに限り、射影的であるという是正された射影的基準の確立である。

ABSTRACT

This is an Erratum to the paper: Compact hyperkaehler manifolds: basic results. (alg-geom/9705025, Inv. math. 135). We give a correct proof of the projectivity criterion for hyperkaehler manifolds. We use a recent result of Demailly and Paun math.AG/0105176.

研究の動機と目的

• コンパクトなハイパーケーラー多様体の射影的基準に関する元の論文における誤った証明を是正すること。
• Demailly-Paunの定理を用いて、非常に一般のハイパーケーラー多様体のケーラー円錐の正当な特徴付けを確立すること。
• 非常に一般のハイパーケーラー多様体において、ケーラー円錐が正の円錐と一致することを証明すること。
• コンパクトなハイパーケーラー多様体が、その第一 Chern 類に正の Beauville-Bogomolov 二次形式を持つラインバンドを備えるとき、かつそのときに限り、射影的であることを示すこと。
• 元の証明が誤った命題（命題3.8）に依存しており、それが解析的幾何学と正の電流の性質に基づく正当な議論に置き換えられることを明確にすること。

提案手法

• コンパクトケーラー多様体のケーラー円錐を、すべての解析的部分集合上で正であるクラスの連結成分として特徴付けるために、Demailly-Paunの定理を用いる。
• Fujikiの(2p,2p)類の変形不変性に関する結果を適用し、特定の整数コホモロジー類が小さな変形のもとでも純粋型(2p,2p)のままであることを示す。
• Beauville-Bogomolov 二次形式 $ q_X $ を用いて、コホモロジー類の積分を代数的不変量と関連づけ、(2p,2p)類に対して $ \int_X \beta \alpha^{2(n-p)} = c_\beta q_X(\alpha)^{n-p} $ を示す。
• 変形空間内の非常に一般の点の稠密性を用いて、正の円錐内の任意のクラスを、近傍の変形におけるケーラー類で近似する。
• BonaveroおよびJi-Shiffmanの結果を適用し、擬効果的円錐の内部にあるクラスがモイシェゾンであり、したがって射影的構造を持つことを示す。
• 正の(1,1)-電流の弱収束を構成することで、正の円錐内の任意のクラスが擬効果的円錐の内部にあることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Huybrechtsの論文における射影的基準の元の証明はなぜ誤りであったのか。具体的に、何がその証明を無効にしたのか。
• RQ2 コンパクトなハイパーケーラー多様体のケーラー円錐が、どのような条件下でその正の円錐と一致するのか。
• RQ3 コンパクトなハイパーケーラー多様体の射影的性は、ラインバンドの第一 Chern 類における Beauville-Bogomolov 二次形式の正の性質のみによって特徴付けられるか。
• RQ4 Demailly-Paunの定理は、ハイパーケーラー多様体の文脈において、ケーラー円錐の正当な特徴付けをどのように可能にするか。
• RQ5 非常に一般の点が変形空間において、(2p,2p)類が小さな変形のもとでも純粋型のままであることを保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 非常に一般のコンパクトなハイパーケーラー多様体 $ X $ のケーラー円錐 $ \mathcal{K}_X $ は、その正の円錐 $ \mathcal{C}_X $ と一致する。すなわち、$ \mathcal{K}_X = \mathcal{C}_X $ である。
• 非常に一般のハイパーケーラー多様体における擬効果的クラスの円錐の内部は、$ \mathcal{K}_X = \mathcal{C}_X $ に等しく、これは $ \mathcal{C}_X $ のすべてのクラスが、ケーラー形式によって下から有界な閉じた正の(1,1)-電流として表現可能であることを意味する。
• 任意の余次元 $ 2p $ の既約な解析的部分多様体 $ Y \subset X $ に対して、コホモロジー類 $ [Y] \in H^{2p,2p}(X,\mathbb{Z}) $ は、$ X $ のすべての小さな変形において純粋型(2p,2p)であり、すべての $ \alpha \in H^2(X,\mathbb{C}) $ に対して $ \int_Y \alpha^{2(n-p)} = c_{[Y]} q_X(\alpha)^{n-p} $ を満たす。
• コンパクトなハイパーケーラー多様体 $ X $ は、$ q_X(c_1(L)) > 0 $ を満たすラインバンド $ L $ が存在するとき、かつそのときに限り、射影的である。これは、是正された議論により、今や厳密に確立された。
• 変形空間 $ \mathrm{Def}(X) $ 内の非常に一般の点の集合は稠密であり、このような点では、小さな変形が奇数次元の解析的部分多様体を含まない。
• 元の命題3.8は誤りであり、これはケーラー円錐上で正であるクラスが、すべての双有理モデル上で正の電流によって表現可能であると示唆していたが、このような正の性質が失敗する既知の例と矛盾していた。