[論文レビュー] Erratum to Viscosity solutions to complex Monge-Ampère equations

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上の退化複素Monge-Ampère方程式の粘性解に関する比較原理の修正証明を提供する。これは、大きなコhomology類のアーミュール局所で有効である。著者らは、[EGZ11]における誤った局所化手続きに代えて、罰則化とJensen-Ishiiの最大原理に基づく洗練された粘性法を用いる。これにより、アーミュール局所における連続な粘性解の存在と一意性が保証されるが、全体的な連続性については未解決のままである。

ABSTRACT

The proof of the comparison principlein [EGZ11] is not complete. We provide here an alternative proof, valid in the ample locus of any big cohomology class, and discuss the resulting modifications.

研究の動機と目的

• 『[EGZ11]』における粘性解のための比較原理の元の証明における欠陥を是正すること。
• 任意の大きなコhomology類のアーミュール局所において有効な正当なグローバル比較原理を確立すること。
• ペロン法を用いて退化複素Monge-Ampère方程式の粘性解の存在と一意性を保証すること。
• 解の正則性を明確にし、解がアーミュール局所では連続であるが、必ずしも全体的に連続ではないことを示すこと。
• 修正された手法を放物型粘性理論および擬・シュレーディンガー関数の連続的近似に拡張すること。

提案手法

• 『[EGZ11]』における誤った局所化手続きを、罰則化とJensen-Ishiiの最大原理に基づく洗練された粘性法に置き換える。
• 部分解に厳密に強い正則性を持つ強いた複素正則関数項を加えることで、原点における厳密な最大値を保証する。
• 正則化および形が $ \frac{1}{2\varepsilon}|x-y|^2 $ であるペナルティ関数を用いて、局所領域における粘性比較原理を適用する。
• アーミュール局所内の点 $ x_0 $ の近傍で局所座標を用いて問題を局所化し、方程式を局所的複素Monge-Ampère不等式に変換する。
• 局所設定において、補題1.2を適用して部分解と上位解を比較し、重要な不等式 $ e^{u(0)}\tilde{\mu}(0) \leq e^{v(0)}\tilde{\nu}(0) $ を導出する。
• 極限 $ \varepsilon \to 0 $ を取ることで、アーミュール局所における比較原理 $ \varphi \leq \psi $ を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『[EGZ11]』における比較原理の元の証明は正当であるか。特に、罰則関数 $ \varphi_3 $ のヘッセ行列の制御に関しては。
• RQ2 大きなコhomology類のアーミュール局所で有効な、グローバル比較原理の新しい証明を構築できるか。
• RQ3 退化複素Monge-Ampère方程式の粘性解はアーミュール局所で連続であるか。また、その全体的連続性の状態はいかなるものか。
• RQ4 修正された手法を放物型設定に適応し、放物型比較原理を証明できるか。
• RQ5 擬・シュレーディンガー関数は、アーミュール局所で連続である $ \omega $-psh 関数によって近似可能か。

主な発見

• 誤った局所化手続きに代わり、洗練された粘性法を用いることで、アーミュール局所における比較原理が厳密に確立された。
• 退化複素Monge-Ampère方程式の粘性解は存在し、一意であり、連続性はアーミュール局所でのみ保証される。
• ペロン法によって構成された解は $ X $ 上で有界であり、$ \mathrm{Amp}\{\omega\} $ で連続であるが、全体的連続性は確立されていない。
• 罰則化と最大原理のアプローチにより、重要な不等式 $ e^{u(0)}\tilde{\mu}(0) \leq e^{v(0)}\tilde{\nu}(0) $ が導出された。
• この手法は放物型設定に適用可能であり、アーミュール局所における放物型比較原理の別証明を提供する。
• 擬・シュレーディンガー関数を、アーミュール局所で連続である $ \omega $-psh 関数によって近似することは正当であるが、全体的連続性は未解決の問題のままである。