[論文レビュー] Singular Kahler-Einstein metrics

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Mar 17, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、大半の正定値形式と $L^p$-密度測度を備えたコンパクトなカーラー多様体上における退化複素マソン＝アンペール方程式の有界かつ連続解の存在と一意性を確立する。主な貢献は、特異点を持つプロジェクト型のkltペアおよび一般型の標準モデルに対して、非正曲率の特異ケーラー＝アインシュタイン計量を、閉じた解析的集合を除いて正則性を持つように構成することである。

ABSTRACT

We study degenerate complex Monge-Ampère equations of the form $(ω+dd^c φ)^n = e^{t φ} μ$ where $ω$ is a big semi-positive form on a compact Kähler manifold $X$ of dimension $n$, $t \in \R^+$, and $μ=fω^n$ is a positive measure with density $f\in L^p(X,ω^n)$, $p>1$. We prove the existence and unicity of bounded $ω$-plurisubharmonic solutions. We also prove that the solution is continuous under a further technical condition. In case $X$ is projective and $ω=ψ^*ω'$, where $ψ:X o V$ is a proper birational morphism to a normal projective variety, $[ω']\in NS_{\R} (V)$ is an ample class and $μ$ has only algebraic singularities, we prove that the solution is smooth in the regular locus of the equation. We use these results to construct singular Kähler-Einstein metrics of non-positive curvature on projective klt pairs, in particular on canonical models of algebraic varieties of general type.

研究の動機と目的

• 一般型の標準モデルに対して、滑らかでないあるいは特異な計量を伴う状況においても、ヤウによるカラビ予想の解法を特異的・退化した設定に拡張すること。
• 滑らかなカルビ＝ヤウまたはオーロイドの場合を除き、高次元代数的幾何におけるケーラー＝アインシュタイン計量の適切な類似物が欠如している問題に取り組むこと。
• 特異点を持つ多様体に対しても、kltペアおよび標準モデル上に有界なポテンシャルを持つ特異ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を確立すること。
• 適切な技術的条件のもとで、退化複素マソン＝アンペール方程式の解が有界かつ連続であることを証明し、それによって標準計量の構成を可能にすること。
• 特に、一般型の多様体に対して、最小モデルプログラムを用いてケーラー＝アインシュタイン計量の存在を特異多様体へ一般化すること。

提案手法

• 大半の正定値形式 $\omega$ および $f \in L^p(X, \omega^n)$, $p > 1$ を満たす方程式 $(\omega + dd^c\varphi)^n = f\omega^n$ の弱解を定義する。
• コロジエの $L^p$-推定と [GZ1, GZ2] で発展された擬超調和関数論を用いて、有界な $\omega$-擬超調和解の存在と一意性を証明する。
• 解の連続性を、連続的近似性質に基づいて確立する。これは、$\varphi$ に点単位で収束する連続的 $\omega$-擬超調和関数の単調減少列の存在を要請する。
• $\omega = \psi^*\omega'$ である場合、$\psi: X \to V$ を正規の射影的多様体 $V$ への有理写像とし、$\mu$ が代数的特異点を持つとき、解 $\varphi$ は方程式の正則点上で滑らかであることを証明する。
• これらの結果を用いて、最小モデルプログラムを介して、一般型の標準モデルおよび klt ペアにおける特異ケーラー＝アインシュタイン計量を構成する。
• Ts および TZ のケーラー＝リッチフローの収束結果を応用し、極限カレントがマソン＝アンペール方程式を満たし、定理 7.8 の解と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大半のコhomologyクラスにおいて、$L^p$-密度右辺を持つ退化複素マソン＝アンペール方程式に対して、有界かつ連続な解を構成できるか？
• RQ2 退化マソン＝アンペール方程式の解が、どのような条件下で連続的または滑らかに保たれるか？
• RQ3 滑らかでない、あるいはオーロイドでない場合でも、一般型の標準モデルに対して特異ケーラー＝アインシュタイン計量を構成できるか？
• RQ4 klt ペア上のマソン＝アンペール方程式の解が、 canonical class 内の標準計量に対応するか？
• RQ5 $L^p$-密度を持つマソン＝アンペール方程式の解が、近似に対して安定的であり、$L^p$-位相で連続的か？

主な発見

• 方程式 $(\omega + dd^c\varphi)^n = f\omega^n$ は、$f \in L^p(X, \omega^n)$, $p > 1$ を満たす限り、$\sup_X \varphi = -1$ を満たす一意な有界 $\omega$-擬超調和解 $\varphi$ を持つ。
• 解 $\varphi$ は、$\varphi$ に点単位で収束する連続的 $\omega$-擬超調和関数の単調減少列が存在し、かつ解写像 $f \mapsto \varphi$ が $L^p$ から $L^\infty$ へ連続である場合に連続である。
• $\omega = \psi^*\omega'$ である場合、$\psi: X \to V$ を正規の射影的多様体 $V$ への有理写像とし、$\mu$ が代数的特異点を持つとき、解 $\varphi$ は方程式の正則点上で滑らかである。
• 一般型の射影的多様体 $V$ で、$K_V$ が豊富で、唯一の標準的特異点を持つ場合、canonical class 内に一意な特異ケーラー＝アインシュタイン計量 $\Omega + dd^c\varphi$ を持つ。この計量は負曲率であり、$\varphi \in L^\infty(V)$ を満たす。
• 特異ケーラー＝アインシュタインカレントは局所的に有界なポテンシャルを持ち、$V^{\text{reg}}$ 上で滑らかであり、TZ で示されたように、ケーラー＝リッチフローの極限と一致する。
• klt ペア $(V, \Delta)$ に対して、$K_V + \Delta$ が豊富または $\mathbb{Q}$-CY である場合、$K_V + \Delta$ の類に一意な特異 KE 計量が存在する。この計量は $\Delta \cup V^{\text{sing}}$ を除いて滑らかであり、$\Delta$ が snc 支持かつ重み $1 - 1/n$ を持つ領域 $[V^o, \Delta \cap V^o]$ 上でも滑らかである。