[論文レビュー] Error autocorrection in rational approximation and interval estimates

Grigori Litvinov|ArXiv.org|Jul 21, 2002

Numerical Methods and Algorithms参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有理近似における誤差自己補正効果を調査している。ここで、係数計算における大きな誤差が、誤差補償のため最終的な近似式の精度を低下させないという現象である。標準的な区間推定がこのような状況では過剰に楽観的であることが示され、誤差自己補正効果が生じるのは、係数誤差が同じ関数に対する新たな有理近似式を形成するためであり、このため、悪条件の連立一次方程式に対しても安定した近似が可能になることが明らかになった。

ABSTRACT

The error autocorrection effect means that in a calculation all the intermediate errors compensate each other, so the final result is much more accurate than the intermediate results. In this case standard interval estimates are too pessimistic. We shall discuss a very strong form of the effect which appears in rational approximations to functions, where very significant errors in the approximant coefficients do not affect the accuracy of this approximant. The reason is that the errors in the coefficients of the rational approximant are not distributed in an arbitrary way, but form a collection of coefficients for a new rational approximant to the same approximated function. Understanding this mechanism allows to decrease the approximation error by varying the approximation procedure depending on the form of the approximant. The effect of error autocorrection indicates that variations of an approximated function under some deformations of rather general type may have little effect on the corresponding rational approximant viewed as a function (whereas the coefficients of the approximant can have very significant changes). Accordingly, deforming a function for which good rational approximation is possible may lead to a rapid increase in the corresponding approximant's error. Thus the property of having a good rational approximation is not stable under small deformations of the approximated functions: this property is "individual", in the sense that it holds for specific functions. Results of computer experiments are presented.

研究の動機と目的

• 中間の誤差が相殺されることで、予想外に高い精度が得られる有理近似における誤差自己補正現象を分析すること。
• 悪条件の有理近似問題において、標準的な区間推定の信頼性を疑問視すること。
• 誤差自己補正効果が、パデ近似やチェビシェフ近似といった効率的な近似手法に内在していることを示すこと。
• 良い有理近似の性質が、近似対象関数の微小な変形に対して不安定であることを示すこと。
• 係数誤差が最終的な近似誤差に伝播しないメカニズムを、誤差項から新たな有理近似式が形成されることに基づいて提案すること。

提案手法

• 誤差伝搬のスカラー積表現を用い、有理関数の誤差を勾配ベクトルと入力誤差ベクトルの内積として表現する。
• 誤差が $ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $ の形をとる有理近似式に適用し、係数 $ a_i $ および $ b_j $ の誤差を偏微分を用いて誤差境界を導出する。
• 誤差評価式 $ \Delta R \approx \sum \frac{x^i}{Q(x)} \Delta a_i + \sum \frac{P(x)x^j}{Q^2(x)} \Delta b_j $ を評価し、個々の項が大きくても合計が小さくなる可能性を示す。
• $ \cos x $ や $ \arctan x $ といった関数に対して、コンピュータ実験を実施し、理論的誤差補償効果を検証する。
• 後向き区間解析に基づく分析を行い、理論的境界と実際の計算誤差を比較する。
• 入力誤差が関連する連立一次方程式の近似解を形成する場合に誤差自己補正が生じ、誤差が相殺されることを示す拡張も行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ有理近似式の係数における大きな誤差が、最終的な近似精度を低下させないのか？
• RQ2 誤差自己補正効果は、なぜ有理近似における標準的区間推定を無効にするのか？
• RQ3 係数誤差が同じ関数に対する新たな有理近似式を形成する数学的メカニズムは何か？
• RQ4 なぜ良い有理近似の性質が、近似対象関数の微小な変形に対して不安定なのか？
• RQ5 勾配ベクトルと誤差ベクトルの直交性が、有理関数評価における誤差相殺をどのように引き起こすのか？

主な発見

• $ \cos x $ について $ [-\pi/4, \pi/4] $ の区間で、次数 $ m=4, n=6 $ の有理近似式は、相対誤差 $ 0.55 \times 10^{-13} $ を達成しており、最良の値 $ 0.46 \times 10^{-13} $ に近く、システムの条件数が約 $ 10^9 $ であるにもかかわらず、高い精度を維持している。
• 係数の摂動が小数点6桁目から9桁目程度であっても、相対誤差は $ 0.55 \times 10^{-13} $ のまま維持され、強い誤差補償が確認された。
• $ \arctan x $ について $ [-1,1] $ の区間で、標準的な区間推定では誤差が $ 10^{-4} $ 程度と予測されるが、実際の誤差はわずか $ 10^{-11} $ にとどまり、古典的区間解析の楽観的すぎる傾向が明確になった。
• 近似式の誤差が小さいのは、係数の誤差項が元の関数と同じ関数に対する新たな有理近似式を形成するためであり、誤差式内で相殺が生じるからである。
• 誤差自己補正効果は、パデ近似、多点パデ近似、チェビシェフ近似など、複数の手法に共通して観察され、有理近似における一般的現象であることが示された。
• 近似対象関数の微小な変形に対しては、この効果は崩壊し、良い有理近似の性質が不安定で関数に依存する性質であることが明らかになった。