[論文レビュー] Error boundedness of Correction Procedure via Reconstruction / Flux Reconstruction

Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形双曲型保存則に対するフラックス再構成（FR）および再構成による補正手順（CPR）法の長期的誤差挙動を調査する。数値フラックス（迎え入れ型または中央差分型）と比較して、ノード基底の選択（ガウス＝ルジャンドル型またはガウス＝ロバート型）の影響がより顕著であり、特に低次の解像度において、ガウス＝ルジャンドル基底がより低く、より速やかに収束する誤差をもたらすことが示された。

ABSTRACT

We study the long-time error behavior of correction procedure via reconstruction / flux reconstruction (CPR/FR) methods for linear hyperbolic conservation laws. We show that not only the choice of the numerical flux (upwind or central) affects the growth rate and asymptotic value of the error, but that the selection of bases (Gauß-Lobatto or Gauß-Legendre) is even more important. Using a Gauß-Legendre basis, the error reaches the asymptotic value faster and to a lower value than when using a Gauß-Lobatto basis. Also, the differences in the error caused by the numerical flux are not essential for low resolution computations in the Gauß-Legendre case. This behavior is better seen on a particular FR scheme which has a strong connection with the discontinuous Galerkin framework but holds also for other flux reconstruction schemes with low order resolution computations.

研究の動機と目的

• 線形双曲型保存則に対する補正手順による再構成（CPR）／フラックス再構成（FR）スキームの長期的誤差挙動を分析すること。
• 数値フラックス（迎え入れ型対中央差分型）およびノード基底（ガウス＝ルジャンドル対ガウス＝ロバート）の選択が、誤差増大および漸近的誤差レベルに与える影響を調査すること。
• 従来の不連続ガロア・スペクトル有限要素法（DGSEM）における安定性および誤差解析を、より広範なFR/CPRフレームワークへと拡張すること。
• ノード基底が誤差ダイナミクスを決定づける役割を、特に低次の解像度計算において明確にすること。
• ガウス＝ルジャンドルノードがガウス＝ロバートノードよりも優れた誤差挙動を示す理論的および数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 線形双曲型保存則に対するエネルギー安定なFRスキームを構築するために、和分による部分積分（SBP）作用素を用いる。
• 各要素における多項式近似を用いた半離散化アプローチを適用し、それを区間 [-1, 1] にマップする。
• 近似空間として、ガウス＝ルジャンドル点およびガウス＝ロバート点を用いたノード型ラグランジュ補間を基底関数として採用する。
• 切断誤差に起因する駆動項を分析し、その時間発展を検討することで誤差方程式を導出する。
• 1パラメータ族のFRスキーム（Vincent, 2011）を用いて結果を一般化し、パrameter κ = 0 のときにはDGSEMが特別な場合として含まれる。
• 離散的SBPノルムを用いた安定性解析を行い、補正関数としてラダウ多項式を介してFR法とDGフレームワークを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値フラックス（迎え入れ型対中央差分型）の選択が、FR/CPRスキームにおける長期的誤差増大にどのように影響するか？
• RQ2 ノード基底（ガウス＝ルジャンドル対ガウス＝ロバート）が、FR法における漸近的誤差レベルおよび収束速度に与える影響は何か？
• RQ3 DGSEMで観察されたように、内部離散化（境界条件を除く）がFRスキームにおける誤差有界性に影響を与えるか？
• RQ4 なぜガウス＝ルジャンドルノードを用いることで、誤差がガウス＝ロバートノードよりも速くかつより低い水準で漸近値に達するのか？
• RQ5 ガウス＝ルジャンドルノードが導入する追加の誤差項（要素内に境界値が欠落しているため）が、全体の誤差ダイナミクスに与える影響はどの程度か？

主な発見

• FRスキームにおいて、ガウス＝ルジャンドルノード基底はガウス＝ロバート基底と比較して顕著に低い漸近的誤差レベルをもたらす。
• ガウス＝ルジャンドルノードを用いる場合、誤差はガウス＝ロバートノードを用いる場合よりも速く漸近値に達し、過渡的オーバーシュートも少ない。
• ガウス＝ルジャンドルノードを用いる際には、数値フラックスの選択（迎え入れ型または中央差分型）が誤差挙動に与える影響が、ガウス＝ロバートノードを用いる場合よりも小さい。
• ガウス＝ルジャンドルノードによって生じる追加の誤差項（境界値が要素内に存在しないため）は、誤差方程式フレームワーク内で解釈および分析可能である。
• ガウス＝ルジャンドルノードと迎え入れ型フラックスを組み合わせたFRスキームは、DGSEMと同等の誤差挙動を示し、低次の領域でもその頑健性を確認した。
• 理論的解析は数値的にも検証されており、先行研究（DGSEM研究）のテストケースと比較した結果、異なる手法間で一貫した傾向が得られた。