[論文レビュー] Error-disturbance relations for finite dimensional systems

Asger C. Ipsen|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、測定の正確さと撹乱のトレードオフを定量化するため、キャリブレーション誤差とばらつき誤差のメトリクスを用いて、有限次元量子系における操作的誤差-撹乱関係を提案する。キュービットの場合、非可換な観測可能の同時測定が量子不確定性によって根本的に制限されることを示すタイトな不等式を導出し、固有基底間の重なりに依存する明示的な境界を与える。

ABSTRACT

We propose an error-disturbance relation for general observables on finite dimensional Hilbert spaces based on operational notions of error and disturbance. For two-dimensional systems we derive tight inequalities expressing the trade-off between accuracy and disturbance.

研究の動機と目的

• 操作的定義に基づく誤差と撹乱の誤差-撹乱関係を、有限次元量子系に定式化すること。
• 非可換な観測可能の測定における撹乱の定量化についての合意が得られていない現状に対処し、特に同時測定の文脈においてその問題を解決すること。
• 2次元系（キュービット）における測定誤差と撹乱の間のタイトで定量的なトレードオフ不等式を導出すること。
• 最適な同時測定スキームに与える影響について、キャリブレーション誤差とばらつき誤差の2つの異なる誤差メトリクスを比較すること。
• 観測可能の同時可測性に関する境界を、それらの固有基底間の重なりに依存する形で確立すること。

提案手法

• 誤差と撹乱を2つのメトリクスで定義する：キャリブレーション誤差 $ d_c(M,P) = \sup_a (1 - \tr(M_a P_a)) $、およびばらつき誤差 $ d_v(M,P) = \sup_\rho \frac{1}{2} \sum_a |\tr(M_a\rho) - \tr(P_a\rho)| $。
• 同時測定を正の作用素値測定（POVM）$ F_{ab} $ でモデル化し、周辺POVMとして $ M_a = \sum_b F_{ab} $ および $ \bar{M}_a = \sum_b F_{ba} $ を定義する。
• 演算子ノルムの等価性 $ d_v(M,P) = \sup_{X \in \mathcal{F}} \| M(X) - P(X) \| $ を用いて、ばらつき誤差を演算子ノルムの形に表現する。
• コーシー・シュワルツと演算子の正定値性制約を用いて、$ \bar{M}_1 $ の行列要素に対する境界を導出し、$ \epsilon = d_\beta(M,P) $ と $ \bar{\epsilon} = d_\beta(\bar{M},\bar{P}) $ を含む不等式を導出する。
• 有効な同時測定に対して非負である必要がある関数 $ I(\epsilon, \bar{\epsilon}; t, t') $ を構築し、$ t = |\langle \bar{1}|1\rangle| $ を用いて $ \epsilon $ と $ \bar{\epsilon} $ の制約を導出する。
• すべての基底ベクトルペアに対する境界を統合して、実行可能領域 $ H $ と $ H' $ を定義し、$ \epsilon + \bar{\epsilon} $ の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ヒルベルト空間内における2つの非可換な観測可能の間で、測定誤差と撹乱の間に達成可能な最もタイトなトレードオフは何か？
• RQ2 キャリブレーション誤差とばらつき誤差という2つの異なる誤差定義は、最適な同時測定戦略にどのように異なる影響を与えるか？
• RQ3 観測可能な固有基底間の重なりに依存する、同時可測性の明示的境界を導出することは可能か？
• RQ4 相互に偏りのない基底（mutually unbiased bases）の存在が、誤差-撹乱トレードオフに与える影響は何か？
• RQ5 測定後の誤り訂正が適用されても有効なままとなる一般の誤差-撹乱関係を導出することは可能か？

主な発見

• キュービットの場合、本稿は、非可換な観測可能の同時測定における正確さと撹乱の根本的トレードオフを定量化するタイトな誤差-撹乱不等式を導出する。
• キャリブレーション誤差 $ d_c $ とばらつき誤差 $ d_v $ は、不等価な最適な同時測定スキームをもたらし、誤差メトリクスの選択が達成可能なトレードオフに影響することを示している。
• 一般に、$ I(\epsilon, \bar{\epsilon}; t, t') \geq 0 $ の形の境界が導出され、ここで $ t = |\langle \bar{1}|1\rangle| $ である。この境界は誤差と撹乱の可能な値を制約する。
• 重なり $ |\langle \bar{1}|1\rangle||\langle \bar{1}|2\rangle| > 0 $ であれば、境界は非自明であり、観測可能が完全に一致しない限り撹乱を完全に排除できないことを示している。
• 合計誤差 $ d_c(M,P) + d_c(\bar{M},\bar{P}) $ は、実行可能領域 $ H \cap H' $ 上での $ \epsilon + \bar{\epsilon} $ の下界によって下から抑えられ、全誤差のグローバルな下界を提供する。
• 導出された関係は、測定後に誤り訂正が施されても有効であるため、後処理に対してロバストであることが示された。