[論文レビュー] Essentially orthogonal subspaces

Esteban Andruchow, Gustavo Corach|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間における直交射影の対 (P, Q) で PQ がコンパクトであるものを調べ、幾何的分類として3つの部分集合 C₀（有限ランク）、C₁（制限付きグラスマンニアン）、C∞（フーリエ型射影を含む）に分類する。主な貢献は、C および C(P) が B(H)×B(H) の滑らかで補完されない C∞-滑らか多様体であることを証明し、C₁ の連結成分はフレドホルム指数によってパラメトライズされ、C∞ が連結であることを示す。一方、C₀ の成分はランクとゼロ空間次元によってパラメトライズされる。

ABSTRACT

We study the set ${\cal C}$ consisting of pairs of orthogonal projections $P,Q$ acting in a Hilbert space ${\cal H}$ such that $PQ$ is a compact operator. These pairs have a rich geometric structure which we describe here. They are parted in three subclasses: ${\cal C}_0$ which consists of pairs where $P$ or $Q$ have finite rank, ${\cal C}_1$ of pairs such that $Q$ lies in the restricted Grassmannian (also called Sato Grassmannian) of the polarization ${\cal H}=N(P)\oplus R(P)$, and ${\cal C}_\infty$. Belonging to this last subclass one has the pairs $$ P_If=χ_If ,\ \ Q_Jf= \left(χ_J \hat{f} ight)\check{\ } , \ \ f\in L^2(\mathbb{R}^n), $$ where $I, J\subset \mathbb{R}^n$ are sets of finite Lebesgue measure, $χ_I, χ_J$ denote the corresponding characteristic functions and $\hat{\ } , \check{\ }$ denote the Fourier-Plancherel transform $L^2(\mathbb{R}^2) o L^2(\mathbb{R}^2)$ and its inverse. We characterize the connected components of these classes: the components of ${\cal C}_0$ are parametrized by the rank, the components of ${\cal C}_1$ are parametrized by the Fredholm index of the pairs, and ${\cal C}_\infty$ is connected. We show that these subsets are (non complemented) differentiable submanifolds of ${\cal B}({\cal H}) imes {\cal B}({\cal H})$.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における直交射影の対 (P, Q) で PQ がコンパクトであるものについて、その幾何的構造を分析すること。
• このような対を3つの部分集合に分類すること：C₀（有限ランク）、C₁（極化 H = N(P)⊕R(P) における制限付きグラスマンニアン）、C∞（他の2つを除いた補集合）。
• これらのクラスの連結成分を特徴づけ、ランク／ゼロ空間次元（C₀）、フレドホルム指数（C₁）によってパラメトライズされ、C∞ が連結であることを示すこと。
• C および C(P) が B(H)×B(H) の滑らかで補完されない C∞-滑らかな部分多様体であることを証明すること。
• 局所的チャートおよび微分同相写像を指数写像を用いて構成し、C(P) 内の射影の局所的パラメトライズ化を実現すること。

提案手法

• 射影 P に関するヒルベルト空間の直和分解を示すハルモス分解を用い、Q の行列表現を可能にする。
• C(P) 内の Q における制限付きユニタリ群の作用を応用し、幾何的構造と局所的パラメトライズ化を研究する。
• 3つの部分集合を定義する：C₀（有限ランク）、C₁（極化 H = N(P)⊕R(P) における制限付きグラスマンニアン）、C∞（他の2つの補集合）。
• R(P) および R(Q) 内の正規直交基底 {ξₙ}, {ψₙ} を用いた C の空間的特徴づけ：n ≠ k のとき ⟨ξₙ, ψₖ⟩ = 0 かつ ⟨ξₙ, ψₙ⟩ → 0 となる。
• 指数写像を用いた局所的チャートの構成：Q′ が Q に近いとき、Q′ = e^{iX}Qe^{-iX} と表され、X は自己共役、Q-対角成分なし、かつ ||X|| < π/2 を満たす。
• 逆関数定理を用いた滑らかさの証明：写像 (X,Y) ↦ (e^{iX}P₀e^{-iX}, e^{iY}e^{iX}Q₀e^{-iY}e^{-iX}) が C′ の近傍へ微分同相写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな積 PQ を持つほぼ直交射影の集合 C の連結成分は、どのように幾何的に分類されるか？
• RQ2 C₁ の連結成分をパラメトライズするフレドホルム指数の役割は何か？
• RQ3 C∞ は、フーリエ型射影 (P_I, Q_J) を含むような対からなるが、連結であるか？
• RQ4 C および C(P) は B(H)×B(H) 内で滑らかな多様体構造を備えられるか？
• RQ5 C(P) 内の2つの射影間の唯一の最小測地線が C(P) 内に留まる条件は何か？

主な発見

• C₀ の連結成分は、射影のランクとゼロ空間次元によってパラメトライズされる。
• C₁ の連結成分は、対 (P, Q) のフレドホルム指数によってパラメトライズされる。
• C∞ は連結である。フーリエ型射影 (P_I, Q_J) における例（有限測度の集合上の特性関数）によって示された。
• C および C(P) は B(H)×B(H) の C∞-滑らかな部分多様体であるが、補完されない。
• C(P) の局所的構造は、代数 A_{P₀} 内の自己共役で Q-対角成分なしの作用素の空間に従ってモデル化され、指数写像を用いて微分同相写像が確立された。
• ||Q − Q′|| < 1 を満たす Q, Q′ ∈ C(P₀) に対して、グラスマンニアン内での唯一の最小測地線は C(P₀) 内に留まり、関連する指数 X が A_{P₀} に属する。