[論文レビュー] Estimating discontinuous periodic signals in a non-time homogeneous diffusion process

Reinhard Hoepfner, Yury A. Kutoyants|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、未知の位相シフト $ϑ$ を介して導入される不連続な周期的信号を有する時刻非定常拡散過程のパrameter推定を検討する。正のハリス再帰性の下でマルティンググールと関数型の極限定理を確立することにより、非標準的な枠組みにおいて局所漸近正規性を証明し、尤度比の収束が二重方向ブラウン運動モデルに至ることを示す。主な結果は、この極限定理実験においてベイズ推定量が最尤推定量よりも低い2次リスクを達成することを示しており、非正則な設定下での優位性を確認する。

ABSTRACT

We consider a diffusion $(ξ_t)_{t\ge 0}$ with some $T$-periodic time dependent input term contained in the drift: under an unknown parameter $\vth\inΘ$, some discontinuity - an additional periodic signal - occurs at times $kT{+}\vth$, $k\in\bbn$. Assuming positive Harris recurrence of $(ξ_{kT})_{k\in\bbn_0}$ and exploiting the periodicity structure, we prove limit theorems for certain martingales and functionals of the process $(ξ_t)_{t\ge 0}$. They allow to consider the statistical model parametrized by $\vth\inΘ$ locally in small neighbourhoods of some fixed $\vth$, with radius $1/n$ as $ to$. We prove convergence of local models to a limit experiment studied by Ibragimov and Khasminskii [IH 81] and discuss the behaviour of estimators under contiguous alternatives.

研究の動機と目的

• 時刻非定常なドリフトを有する拡散過程の統計的推論を分析すること、そのドリフトには $\\vartheta$ でパrameter化された不連続な周期的成分が含まれる。
• 非定常かつ周期的な拡散設定下で、マルティンググールおよび関数型の極限定理を確立すること。
• 局所モデルが、Ibragimovと Khasminskii が研究した形 $\\exp(W_u - \frac{1}{2}|u|)$ の尤度比を持つ極限定理に収束することを調査すること。
• この非正則かつ $L^2$-微分不可能なモデルにおける最尤推定量とベイズ推定量の漸近的性能を比較すること。
• 局所漸近最小最大境界を導出し、半径 $1/n$ の収縮する近傍でベイズ系列がこの境界に達することを示すこと。

提案手法

• 半群の周期的構造を用いて、$T$-セグメント化された過程 $((\xi_{kT+s})_{0\leq s\leq T})_{k\in\mathbb{N}_0}$ の正のハリス再帰性を証明する。
• 連続時間の拡散過程 $\xi_t$ から導かれる関数型およびマルティンググールに関する強大数法則および極限定理を確立する。
• 連続な代替仮説の下で推定量を分析するために、Le Cam の第3の補題および漸近的同値性を用いる。
• パrameter $\vartheta$ の近傍で、$n \to \infty$ のとき局所スケール $1/n$ を持つ局所モデルを構築し、尤度比 $\widetilde{L}^{u/0} = \exp(\widetilde{W}(uJ_\vartheta) - \tfrac{1}{2}|uJ_\vartheta|)$ を持つ極限定理に収束することを示す。
• 二重方向ブラウン運動 $\widetilde{W}$ を用いて極限定理を分析し、ハリントン距離における $\tfrac{1}{2}$-ホルダー連続性を持つパラメータ化を検討する。
• 局所漸近最小最大境界を導出し、一様事前分布を用いたベイズ推定量がこの境界に達することを示し、2次リスクにおける最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻非定常拡散過程に不連続な周期的信号が含まれる統計的モデルは、$\vartheta$ の近傍における局所パラメータ化の下で、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、この拡散過程の局所モデルはどの極限定理に収束するか？
• RQ3 この非正則なモデルにおいて、最尤推定量とベイズ推定量の漸近的2次リスクはどのように比較できるか？
• RQ4 この設定で局所漸近最小最大境界を導出可能か？ また、その境界は達成可能か？
• RQ5 極限定理実験において、ベイズ推定量は最尤推定量よりも厳密に優れているか？

主な発見

• パラメータ $\vartheta$ の近傍における局所モデルは、尤度比 $\widetilde{L}^{u/0} = \exp(\widetilde{W}(uJ_\vartheta) - \frac{1}{2}|uJ_\vartheta|)$ を持つ極限定理に収束する。ここで $\widetilde{W}$ は二重方向ブラウン運動である。
• 極限定理は局所漸近正規性や $L^2$-微分可能性を満たさず、十分統計量や中心極限定理の構造も欠如している。
• 実数直線上の一様事前分布を用いたベイズ推定量は、半径 $1/n$ の収縮する近傍における2次リスクの局所漸近最小最大境界に達する。
• 極限定理において、ベイズ推定量の分散は最尤推定量よりも厳密に小さいことが確認され、その優位性が裏付けられる。
• 証明は漸近的同値性、Le Cam の第3の補題、および極限定理測度下での後立平均がベイズリスクに収束することに依拠している。
• 尤度比の収束は $\vartheta$ に関して一様ではない。著者たちはこの仮定を避けるため、連続な代替仮説と後立密度の詳細な尾部解析を用いている。