[論文レビュー] Estimating operator norms using covering nets

Fernando G. S. L. Brandão, Aram W. Harrow|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Stochastic Gradient Optimization Techniques参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、半定値計画法の階層に代わって被覆ネットを用いることで、一般化された作用素ノルムの多項式的および準多項式的時間近似スキームを提示する。ℓ₁空間における小さなネットとモーレーイの経験的手法を活用することで、2→qノルム、分離状態最適化、およびインジェクティブテンソルノルムといった問題について、より高速な実行時間とより単純な証明が達成され、従来のSum-of-Squaresに基づく手法と同等またはそれを上回る性能と幾何的洞察が得られる。

ABSTRACT

We present several polynomial- and quasipolynomial-time approximation schemes for a large class of generalized operator norms. Special cases include the $2 ightarrow q$ norm of matrices for $q>2$, the support function of the set of separable quantum states, finding the least noisy output of entanglement-breaking quantum channels, and approximating the injective tensor norm for a map between two Banach spaces whose factorization norm through $\ell_1^n$ is bounded. These reproduce and in some cases improve upon the performance of previous algorithms by Brandão-Christandl-Yard and followup work, which were based on the Sum-of-Squares hierarchy and whose analysis used techniques from quantum information such as the monogamy principle of entanglement. Our algorithms, by contrast, are based on brute force enumeration over carefully chosen covering nets. These have the advantage of using less memory, having much simpler proofs and giving new geometric insights into the problem. Net-based algorithms for similar problems were also presented by Shi-Wu and Barak-Kelner-Steurer, but in each case with a run-time that is exponential in the rank of some matrix. We achieve polynomial or quasipolynomial runtimes by using the much smaller nets that exist in $\ell_1$ spaces. This principle has been used in learning theory, where it is known as Maurey's empirical method.

研究の動機と目的

• 量子情報および関数解析における一般化された作用素ノルムのための効率的近似アルゴリズムの開発。
• 複雑なSum-of-Squares階層を、より単純な幾何的ネットベースの列挙技法に置き換え。
• 2→qノルム、分離状態最適化、インジェクティブテンソルノルムといった問題について、多項式または準多項式時間の実行を達成。
• ネットベースの手法を通じて、どのノルムが準多項式最適化に適しているかという幾何的洞察を提供。
• 実行時間とメモリ使用量を改善しながら、同等またはより良い近似保証を維持。

提案手法

• ℓ₁空間における適切に選ばれたε被覆ネットのブルートフォース列挙を用いて作用素ノルムを近似。
• マウレイの経験的手法を活用し、ℓ₁空間における小さなネットを構築することで、行列のランクに指数的依存するのではなく、次元に多項式的または準多項式的依存の実行時間にできる。
• ネットベースのアプローチを、q > 2 における行列の2→qノルム、分離量子状態上のサポート関数、およびインジェクティブテンソルノルムの推定に適用。
• 与えられたMから、Aの2→qノルムが分離ノルムh_Sep(M)に関連する行列Aを構築し、対称射影と積状態の強制を用いる。
• ウィックの定理を用いて、対称射影を積状態の積分として表現し、高次テンソルノルムのネットベース近似を可能にする。
• 既知の量子計算複雑性結果に基づく連鎖的還元を通じて、3-SATの充足可能性を、‖A‖₂→q ≥ C と ‖A‖₂→q ≤ c を区別することに還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ₁空間における被覆ネットを用いて、一般化された作用素ノルムのための効率的近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 2→qノルム推定などの問題において、ネットベース手法とSum-of-Squares階層の実行時間とメモリ使用量はどのように比較されるか？
• RQ3 分離量子状態上のサポート関数は、ネット列挙を用いて準多項式時間で近似可能か？
• RQ4 インジェクティブテンソルノルムとℓ₁ⁿを介した因数化ノルムの関係は何か？そして効率的に近似可能か？
• RQ5 2→qノルムの推定の計算複雑性は何か？特にq ≥ 4 で偶数の場合、3-SATの難易度と関連づけられるか？

主な発見

• 本稿では、行列の2→qノルムについて、誤差δに対してexp(O(δ⁻² log d₁ log d₂))の実行時間で準多項式的時間近似スキームを達成。
• 分離状態上のサポート関数h_Sep(d₁,d₂)(M)は、加法的誤差δの範囲内で、exp(O(δ⁻² log d₁ log d₂)の時間で近似可能であり、従来のSoSに基づく結果と同等の性能を示すが、証明がより単純。
• 従来のアルゴリズムに比べ、ℓ₁空間におけるより小さなネットを用いることで、行列ランクに指数的依存するのではなく、次元に多項式的または準多項式的依存の実行時間に改善。
• 3-SATから、‖A‖₂→q ≥ C と ‖A‖₂→q ≤ c を区別する問題への還元を構築し、qが超定数の範囲（〜Õ(√log d)まで）で2→qノルムの推定が難しいことを示した。
• ブランドー＝クリスチャンドール＝イヤード[BCY11]およびその後続研究の性能を再現し、場合によってはそれを上回るが、もつれのモノゴミー性といった量子情報の原則に依存しない。
• 被覆ネットの使用により、特にℓ₁空間への因数化に関連して、準多項式最適化に適したノルムの構造に関する新しい幾何的洞察が得られた。