[論文レビュー] Estimating the Koebe radius for polynomials

Dmitriy Dmitrishin, Andrey Smorodin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、虚部が消える条件の下で、単一円周上における写像の実部の最小値を最大化する最適な多項式を特定することにより、幾何的複素解析における極値問題を解いている。主な結果は、単一正則多項式のコーエーベ半径に対する正確な公式である：$ R = \frac{1}{4}\sec^2\left(\frac{π}{N+2}\right) $、これは第二種チェビシェフ多項式から導かれた特定の係数を有する多項式によって一意的に達成される。

ABSTRACT

For a pair of conjugate trigonometrical polynomials $C (t) = \sum_ { j = 1 } ^N { { a_j}\cos jt }, S(t) = \sum_ { j = 1 } ^N { { a_j}\sin jt }$ with real coefficients and normalization ${a_1} = 1 $ we solve the extremal problem \[ \sup_ {a_2,...,a_N} \left ({ \min_t \left\{ {\Re \left ({ F\left ({ { e^ {it} } } ight) } ight): \Im \left ({ F\left ({ { e^ {it} } } ight) } ight) = 0 } ight\} } ight) = -\frac14 \sec ^2\fracπ{N + 2}. \] We show that the solution is unique and is given by \[ a_j^ {(0)} = \frac {1} { { { U'_N}\left ({\cos \frac{π} { { N + 2 } } } ight) } } { U' _ { N - j + 1 } }\left ({\cos \frac{π} { { N + 2 } } } ight) { U_ { j - 1 } }\left ({\cos \frac{π} { { N + 2 } } } ight), \] where the $U_j(x)$ are the Chebyshev polynomials of the second kind, and the $U'_j(x)$ are their derivatives, $j = 1, \ldots, N.$ As a consequence, we obtain some theorems on covering of intervals by polynomial images of the unit disc. We formulate several conjectures on a number of extremal problems on classes of polynomials.

研究の動機と目的

• 正規化 $ a_1 = 1 $ の下で、虚部が消える条件の下で、単位円周上における多項式 $ F(e^{it}) $ の実部の最小値の上界を求める。
• この上界を達成する一意的な極値多項式を特定し、それは次数 $ N $ の単一正則多項式のコーエーベ半径に対応する。
• 極値三角多項式と単位円板の単一正則多項式写像との間の関係を確立する。
• 極値多項式の単一正則性および係数の有界性に関する予想を提示し、それを裏付ける。

提案手法

• 実係数かつ $ a_1 = 1 $ の下で、$ \min_t \{ \Re(F(e^{it})) : \Im(F(e^{it})) = 0 \} $ を最大化する極値問題として定式化する。
• 多項式 $ F(e^{it}) $ の実部と虚部を分析するため、共役三角多項式 $ C(t) = \sum a_j \cos jt $、$ S(t) = \sum a_j \sin jt $ を用いる。
• 根に基づく因数分解補題を適用し、$ S(t) $ と $ C(t) $ が共通零点を持つ場合、$ \cos t - \cos t_k $ を含む積構造が得られることを示す。
• 第二種チェビシェフ多項式の微分を用いて極値係数を導出する：$ a_j^{(0)} = \frac{U'_{N-j+1}(\cos \frac{\pi}{N+2}) U_{j-1}(\cos \frac{\pi}{N+2})}{U'_N(\cos \frac{\pi}{N+2})} $。
• 虚部の零点集合上での最小実部から、コーエーベ半径を $ \frac{1}{4} \sec^2 \frac{\pi}{N+2} $ として導出する。
• 数値的証拠と既知の単一正則性基準を用いて、極値多項式の単一正則性およびその一般化に関する予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ N $ の単一正則多項式で $ a_1 = 1 $ を満たすとき、$ \Im(F(e^{it})) = 0 $ の条件下で、単位円周上における $ F(e^{it}) $ の実部の最小値の最大値は何か？
• RQ2 この最大値を達成する一意的な極値多項式は何か、そしてそれは第二種チェビシェフ多項式とどのように関係しているか？
• RQ3 極値多項式は単位円板内で単一正則であるか、かつ次数 $ N $ の単一正則多項式のコーエーベ半径を達成するか？
• RQ4 極値単一正則多項式の係数の有界性は、$ N \to \infty $ のとき古典的な $ j $-有界性に収束するか？
• RQ5 極値問題は奇数三角多項式や複素係数多項式に一般化可能か？また、その場合もコーエーベ半径の公式は成立するか？

主な発見

• 虚部の零点集合上における実部の最小値の極値は、正確に $ -\frac{1}{4} \sec^2 \frac{\pi}{N+2} $ に達する。
• 一意的な極値多項式は、係数 $ a_j^{(0)} = \frac{U'_{N-j+1}(\cos \frac{\pi}{N+2}) U_{j-1}(\cos \frac{\pi}{N+2})}{U'_N(\cos \frac{\pi}{N+2})} $ で与えられ、ここで $ U_j $ は第二種チェビシェフ多項式を表す。
• 次数 $ N $ の単一正則多項式のコーエーベ半径は $ \frac{1}{4} \sec^2 \frac{\pi}{N+2} $ であり、これは鋭い値であり、導出された極値多項式によって達成される。
• 数値的証拠と既知の単一正則性基準により、すべての $ N \geq 1 $ に対して極値多項式が単位円板内で単一正則であるという予想が支持される。
• 極値多項式の係数の有界性は $ N \to \infty $ のとき $ j $ に収束し、極値多項式が最適な係数推定を与えるという予想を支持する。
• 奇数三角多項式 $ C(t) = \sum a_j \cos(2j-1)t $、$ S(t) = \sum a_j \sin(2j-1)t $ の場合、$ S(t) $ の零点における $ |C(t)| $ の下限は $ -\frac{1}{2} \sec^2 \frac{\pi}{2N+2} $ に達し、これに対応する極値多項式が存在する。