[論文レビュー] Generalization of nonlinear control for nonlinear discrete systems

Dmitriy Dmitrishin, Alex Stokolos+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形離散系における不安定な周期軌道を安定化するため、非線形制御と半線形遅延フィードバック制御の新しい凸結合を提案する。O. Morgulの半線形フィードバックを非線形制御と統合することで、必要な前史長を短縮し収束を加速し、修正された反復スキームを用いて代数方程式系の効率的解法を可能にする。

ABSTRACT

The problem of stabilization of unstable periodic orbits of discrete nonlinear systems is considered in the article. A new generalization of the delayed feedback, which solves the stabilization problem, is proposed. The feedback is represented as a convex combination of nonlinear feedback and semilinear feedback introduced by O. Morgul. In this article, the O. Morgul method was transferred from the scalar case to the vector one. It is shown that the additional introduction of the semilinear feedback into the equation makes it possible to significantly reduce the length of the prehistory used in the control and to increase the rate of convergence of the perturbed solutions to periodic ones. As an application of the proposed stabilization scheme, a possible computational algorithm for finding solutions of systems of algebraic equations is given. The numerical simulation results are presented.

研究の動機と目的

• 非線形離散系における不安定で事前に未知の周期軌道を安定化する課題に対処すること。
• O. Morgulのスカラー半線形遅延フィードバック制御をベクトルケースに拡張すること。
• 遅延フィードバック制御における前史長の短縮と収束速度の向上を図ること。
• 非線形および半線形フィードバックを統合した統一的制御フレームワークを構築し、安定性とロバストネスを向上させること。
• 提案された安定化スキームを代数方程式系を解く反復アルゴリズムに応用すること。

提案手法

• 制御は非線形フィードバックと半線形フィードバック（O. Morgulの手法）の凸結合として定式化され、ハイブリッド制御戦略を可能にする。
• T周期に対する閉ループ系の特性多項式が導出され、非線形および半線形ケースを一般化する単純な構造を示す。
• 幾何的複素解析が安定性解析に用いられ、多項式および有理写像を用いて局所漸近安定性の必要十分条件を導出する。
• 行列逆行列計算に応用し、前史長Nの遅延フィードバックを用いた反復スキームを修正することで、標準的手法よりも収束性を向上させる。
• 数値シミュレーションにより、N=7およびγ=0.743の3×3行列逆行列問題に対して、ε₂₅₀ ≈ 3×10⁻⁹の精度が達成された。
• Morgulの元来の手法（N=1）と比較すると、収束が著しく速く、必要な精度に到達するまでのステップ数が250ステップ（新手法）対800ステップ（元来手法）であった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形フィードバックと半線形フィードバックを組み合わせたハイブリッド制御戦略は、単独で用いる場合よりも、非線形離散系における不安定な周期軌道の安定化をより効果的に行えるか？
• RQ2 半線形フィードバックの導入は、遅延フィードバック制御における前史長にどのような影響を与えるか？
• RQ3 統合された制御フレームワークにおける特性多項式の構造は何か？ そして、安定性解析を容易にする要因は何か？
• RQ4 提案された制御スキームは、代数方程式系を解く反復手法に効果的に応用可能か？
• RQ5 修正された反復スキームの収束速度は、Morgulの元来の手法のような既存手法と比較してどうか？

主な発見

• 非線形および半線形フィードバックの凸結合により、遅延フィードバック制御における必要な前史長が顕著に短縮された。
• 収束速度が向上：3×3行列逆行列問題において、250反復でε₂₅₀ ≈ 3×10⁻⁹の精度に到達したのに対し、Morgulの元来手法では800反復を要した。
• 閉ループ系の特性多項式は単純な構造を示し、非線形および半線形制御ケースを一般化する。
• 複素解析を用いた幾何的安定性基準が導出され、T周期の局所漸近安定性の明確な条件が得られた。
• 行列逆行列の反復的計算への応用に成功し、計算複雑性を増加させることなく収束性が向上した。
• 数値結果により、結合制御が個別の非線形および半線形フィードバック手法に比べ、収束速度とロバストネスの両面で優れていることが確認された。